Лекции

 

 

Главная

 

30. Учет симметрии статически неопределимых сооружений при их расчете методом перемещений

 

30.1. Общие положения

 

В этой главе рассматриваются стержневые системы, геометрия и распределение жесткостей поперечных сечений элементов которых обладают хотя бы одной осью симметрии.

Как и в методе сил для расчета симметричных сооружений будем использовать симметричную основную систему метода перемещений, а также группировку неизвестных угловых и линейных перемещений симметрично расположенных узлов.

Если в основной системе метода перемещений все эпюры внутренних усилий от единичных перемещений узлов (в том числе и групповых) имеют симметричный или обратно симметричный характер, то система канонических уравнений метода перемещений при произвольном внешнем воздействии (силовом, температурном или кинематическом) распадается на две независимых друг от друга системы уравнений, одна из которых содержит только симметричные неизвестные, а другая – только обратно симметричные (по аналогии с методом сил).

Если во всех единичных состояниях симметричной основной системы метода перемещений эпюры внутренних усилий симметричны или обратно симметричны, то в случае симметричных внешних воздействий обратно симметричные неизвестные метода перемещений будут равны нулю, а в случае обратно симметричных воздействий равны нулю симметричные неизвестные.

 

30.2. Группировка угловых перемещений узлов

 

Рассмотрим расчет рамы с вертикальной осью симметрии на произвольную нагрузку (рис. 30.1,а). Соотношение между погонными жесткостями симметрично расположенных ригелей 1А, 2В  и стоек 1С, 2D ic, а также центрального ригеля 12 , задано. Степень кинематической неопределимости рамы равна двум. На рис. 30.1,б показана основная система метода перемещений для этой рамы.

Рис.30.1

 

Неизвестные углы поворотов узлов 1 и 2 рассма­триваемой рамы от заданной нагрузки Z1 и Z2 определяются из системы канонических уравнений

Нетрудно убедиться в том, что в нашем случае, принимая за неизвестные углы поворота отдельных узлов, мы будем иметь полную систему уравнений (1), т.е. ни один из коэффициентов при неизвестных Z1 и Z2 не будет равен нулю (предлагаем читателям самостоятельно проверить это).

Используем симметрию рамы и произведем группировку угловых перемещений симметрично расположенных узлов 1 и 2. Каждое из уравнений системы (1) отрицает в основной системе метода перемещений реакции R1 и R2 в наложенных угловых связях 1 и 2 от их поворота на углы, равные Z1 и Z2, и от заданной нагрузки, т.е. первое уравнение удовлетворяет условию R1 = 0, а второе – R2 = 0. Эти условия будут выполнены, если в основной системе метода перемещений будем одновременно отрицать разность и сумму реакций в наложенных связях 1 и 2, т.е. если будем отрицать групповые реакции

 

Групповым реакциям  и  соответствуют групповые угловые перемещения узлов 1 и 2 , которые в дальнейшем будем называть групповыми неизвестными метода перемещений.

В единичном состоянии основной системы метода перемещений неизвестному групповому перемещению  соответствует одновременный поворот угловой связи, наложенной на узел 1, по часовой стрелке на угол, величина которого равна единице, и угловой связи, наложенной на узел 2, – против часовой стрелки на такой же угол – другими словами, симметричная деформационная схема элементов рамы и симметричная групповая эпюра изгибающих моментов  (рис. 30.1,в). Аналогично, групповому неизвестному перемещению  в основной системе метода перемещений соответствует обратно симметричная схема деформаций и обратно симметричная групповая эпюра изгибающих моментов  (рис. 30.1,д).

При построении групповых эпюр изгибающих моментов  и  для всех элементов рамы, кроме центрального ригеля 12, использованы стандартные задачи метода перемещений. На ригеле 12 эпюры изгибающих моментов можно получить суммированием соответствующих эпюр от симметричного поворота двух угловых связей на угол  (рис. 30.2,а) и от обратно симметричного поворота этих же связей на такой же угол (рис. 30.2,б).

 

21

Рис. 30.2

 

Система канонических уравнений (1) для групповых неизвестных метода перемещений перепишется:

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены  системы уравнений (2) можно вычислить сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов, либо из условия равновесия одновременно двух узлов, содержащих симметрично расположенные связи.

Так как групповые эпюры  и  носят соответственно симметричный и обратно симметричный характер, то

С учетом последнего обстоятельства система уравнений (2) распадается на два независимых друг от друга уравнения:

При построении эпюр внутренних усилий в заданном сооружении групповые неизвестные метода перемещений используются как обычные. В частности, для рамы, показанной на рис. 30.1,а имеем:

где MF – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки.

 

 

30.3. Группировка линейных перемещений узлов

 

Группировка линейных перемещений симметрично расположенных узлов целесообразна, если при выборе основной системы метода перемещений наложение линейных связей на узлы производится без нарушения симметрии сооружения.

21

Рис. 30.3

 

Поясним это на примере рамы, имеющей вертикальную ось симметрии (рис. 30.3,а). Степень кинематической неопределимости этой рамы равна четырем (=2, =2). Для ее расчета предлагается симметричная основная система метода перемещений, показанная на рис. 30.3,б. Рассмотрим группировку линейных перемещений узлов А и В рамы, приняв за неизвестные групповые линейные перемещения, а именно: сумму  и разность  линейных перемещений этих узлов Z1 и Z2, т.е.

В единичном состоянии основной системы метода перемещений неизвестному групповому перемещению  соответствует одновременное смещение линейных связей 1 и 2, наложенных на узлы А и В, направо на величину, равную единице, другими словами, обратно симметричная деформационная схема элементов рамы и обратно симметричная групповая эпюра изгибающих моментов  (рис. 30.4).

Неизвестному групповому перемещению  в основной системе метода перемещений соответствует одновременное единичное смещение связей 1 и 2 в разные стороны, т.е. симметричная деформационная схема и симметричная групповая эпюра изгибающих моментов  (рис. 30.5).

21

Рис. 30.4

 

21

Рис. 30.5

 

Учитывая обратно симметричный характер групповой эпюры изгибающих моментов  и симметричный – , получим

Следствием группировки линейных и угловых перемещений симметрично расположенных узлов сооружения является упрощение системы канонических уравнений метода перемещений за счет исключения из нее нулевых побочных коэффициентов.

 

 

30.4. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений  в матричной форме

 

30.4.1. Теорема о работе концевых усилий и ее приложение к плоским стержневым системам

 

В основе расчета статически неопределимых систем методом перемещений в матричной форме лежит теорема о работе концевых усилий. Поясним сначала содержание и доказательство этой теоремы в общем виде.

Пусть требуется определить реакцию Rik в i-й связи заданного сооружения (рис. 30.6,а), испытывающего в k-м равновесном состоянии любые внешние воздействия (силовые, температурные, кинематические).

Рис.30.6

 

Рассмотрим вспомогательное i-е состояние сооружения, в котором i-я связь получила единичное перемещение (рис. 30.6,б) и введем следующие обозначения:

g число узлов сооружения;

m число его стержней (элементов);

Wext,j – возможная работа внешних сил, приложенных к j-му элементу в k-м состоянии сооружения, на перемещениях этого элемента, вызванных единичным смещением i-й связи;

Wint,j – возможная работа внутренних сил j-го элемента в k-м состоянии сооружения на тех же перемещениях (напоминаем читателям о том, что эта работа отрицательна);

Wext,h – возможная работа внешних сил, приложенных к узлу h в k-м состоянии сооружения, на тех же перемещениях.

Используем принцип Лагранжа для k-го равновесного состояния всего сооружения (рис. 30.6,а), приняв за возможные перемещения, имеющие место в i  состоянии (рис. 30.6,б)

Рассмотрим отдельный j-й элемент сооружения (рис. 30.7,а). В его концевых сечениях действуют силы, которые в дальнейшем будем называть концевыми усилиями. Обозначим через Aj возможную работу концевых усилий j-го элемента k-го равновесного состояния сооружения на перемещениях концов этого элемента в i-м состоянии (рис. 30.7,б). Запишем условие равновесия отдельного j-го  элемента в форме Лагранжа, приняв, по-прежнему, за возможные – перемещения в i-м состоянии сооружения

Из зависимости (4) для отдельного элемента следует, что

 

22

Рис. 30.7

 

Для полного ансамбля разобщенных друг от друга элементов сооружения, используя (5), имеем:

Подставив выражение (6) в соотношение (3), окончательно получим математическую формулировку теоремы о работе концевых усилий:

В общей форме теорема о работе концевых усилий может быть прочитана так: реакция i-й связи k-го равновесного состояния сооружения равна работе концевых усилий его элементов и взятой с обратным знаком работе узловых сил на перемещениях, вызванных единичным смещением i-й связи.

Конкретизируем эту теорему для плоских стержневых систем.

Концевое сечение отдельного элемента, примыкающее к узлу h, обозначим через h (рис. 30.7,а), а противоположное концевое сечение – через j (в соответствии с номером рассматриваемого элемента). Нагрузку, действующую на j-й элемент, заменим равнодействующей Rj. Проекции этой равнодействующей на оси y и x обозначим соответственно через Rjy и Rjx (рис. 30.7,а). На узел  h (рис. 30.7,б) действуют сосредоточенный момент  и произвольная сосредоточенная сила Rh (ее проекции на оси y и xRhy и Rhx).

В концевых сечениях элемента j действуют концевые усилия: концевые изгибающие моменты Mj и Mh, концевые поперечные силы Qj и Qh и концевые продольные силы Nj и Nh. На рис. 30.7,а показаны положительные концевые усилия. Особо следует подчеркнуть, что концевой изгибающий момент считается положительным, если он элемент вращает по часовой стрелке, и отрицательным, – если против часовой стрелки.

Из условий равновесия j-го элемента получим:

На рис. 30.7,в показаны угловые и линейные перемещения концевых сечений j-го элемента в i-м состоянии. Повороты концевых сечений элементов будем считать положительными, если они происходят по часовой стрелке, и отрицательными, – если против часовой стрелки. Взаимное смещение концов j и h в направлении, перпендикулярном оси стержня до его деформации (в направлении оси y), называется перекосом j-го элемента. Из рис. 30.7,в видно, что

Перекос j-го элемента считается положительным, если в результате линейных перемещений концов j и h его поворот совершается по часовой стрелке, и отрицательным, – если против часовой стрелки.

Так как в расчетах стержневых систем методом перемещений пренебрегают изменениями длин их элементов под воздействием продольных сил, то взаимное смещение концов j и h j-го элемента в направлении его оси (в направлении оси x) равно нулю, т.е.

Вернемся к соотношению (7) и вычислим его правую часть для плоских стержневых систем.

Для отдельного j-го элемента имеем:

С учетом соотношений (8)–(10) возможная работа концевых усилий j-го элемента на перемещениях, имеющих место в i-м состоянии (рис. 30.7,б) перепишется:

Для всех элементов заданного сооружения работа концевых усилий суммируется

причем составляющие Rjy и Rjx равнодействующей нагрузки, приложенной к j-му элементу, работу совершают на линейных перемещениях узла h ( и ), происходящих в i-м состоянии (рис. 30.7,в). Как видно из рис. 30.7,а, узел h расположен в стороне, противоположной концевому сечению j, т.е. сечению, в котором зафиксирована концевая поперечная сила Qj.

Работа узловых сил, действующих на отдельный узел h (рис. 30.7,б), на перемещениях этого узла, совпадающих с перемещениями концевого сечения h j-го элемента в i-м состоянии, будет равна:

Для всех узлов стержневой системы выражение (14) суммируется от h до g

Подставив соотношения (13) и (15) в формулу (7), окончательно получим математическую формулировку теоремы о работе концевых усилий для плоских стержневых систем:

В матричной форме выражение (16) перепишется:

Поясним смысл матриц, входящих в соотношение (17):

Rk – матрица искомых реакций в связях стержневой системы, находящейся в k-м равновесном состоянии при любых заданных внешних воздействиях (силовых, температурных, кинематических);

Sk – матрица концевых усилий элементов сооружения (изгибающих моментов Mj и Mh и поперечных сил Qj), возникающих в k-м состоянии от заданных внешних воздействий;

– матрица нагрузок (сосредоточенных моментов  и сосредоточенных сил (Rjy + Rhy), (Rjx + Rhx), действующих на узлы сооружения в k-м равновесном состоянии;

a – матрица концевых перемещений элементов стержневой системы (углов поворота концевых сечений  и  отдельных стержней и их перекосов ) от единичного смещения связей, в которых определяются реакции от заданных внешних воздействий;

сматрица угловых θh и линейных перемещений  и  узлов от единичного смещения связей, где определяются реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.

Число столбцов в матрицах Rk, Sk и  равно числу вариантов внешних воздействий, а в матрицах a и счислу связей, в которых определяются реакции от заданных воздействий. Число строк в матрице Rk соответствует числу связей, где необходимо определить реакции в k-м равновесном состоянии сооружения.

 

30.4.2. Определение реакций в наложенных связях в основной системе метода перемещений

от различных воздействий в матричной форме

 

В дальнейшем за k-е равновесное состояния сооружения будем принимать его основную систему метода перемещений. Рассмотрим сначала определение в матричной форме реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий (силовых, температурных, кинематических). Используем для решения этой задачи матричное соотношение (8.52), опуская в нем индекс «k»

Элементы матриц R, , , a, c, входящих в выражение (18), имеют прежний смысл (см. п. 30.4.1), но теперь они определяются для основной системы метода перемещений. Конкретизируем содержание элементов перечисленных матриц для нашего случая.

Rматрица реакций в наложенных связях основной системы метода перемещений от внешних воздействий

 

Здесь RF, Rt, Rc – реакции в наложенных связях соответственно от силовых, температурных и кинематических воздействий. Число столбцов матричных блоков RF, Rt, Rc определяется числом комбинаций указанных типов воздействий.

– матрица концевых усилий элементов сооружения в основной системе метода перемещений от внешних силовых, температурных и кинематических воздействий