Лекции

 

 

Главная

 

9.5.6. Преобразование матрицы жесткости при переходе от одной

системы координат к другой

 

Обычно матрицу жесткости строят в удобной для данного элемента системе координат, которую принято называть локальной или местной. При переходе от отдельных элементов к системе элементов необходимо осуществить переход от локальных систем координат к общей для всех элементов системе координат, которую принято называть глобальной. 

Пусть известны перемещения какого-либо жесткого узла k элемента в локальной системе координат, оси которой 1` и 2` повернуты на угол j относительно осей 1 и 2 глобальной системы координат. Оси 3 и 3`, очевидно, будут совпадать, т.к. в обоих случаях рассматривается одна и та же плоскость (рис.9.25).

Пусть  и - перемещения узла k по направлению 1 в глобальной и локальной системах координат соответственно, а  и - перемещения по направлению 2 в глобальной и локальной системах координат соответственно.

Из рис.9.25 следует:

,

.

 

Рис.9.25

 

Очевидно, угловое смещение в обоих системах осей координат будет одинаковым, т.е. . Полученные соотношения, связывающие перемещения узла в локальной и в глобальной системах координат, в матричной форме будут выглядеть следующим образом:

              .

                 Матрица  называется матрицей направляющих косинусов для k-го узла. Легко убедиться, что элемент, стоящий в ее i-ой строке и j-ом столбце равен косинусу угла между i-ой осью в локальной системе координат и j-ой осью в глобальной системе координат.

Для шарнирного элемента связь между перемещениями в локальной и глобальной системах осей будет аналогичной:

              .

Для элемента, содержащего несколько узлов, связь между вектором узловых перемещений U в глобальной системе осей координат и вектором узловых перемещений U` в локальной системе  осей координат осуществляется при помощи квазидиагональной матрицы направляющих косинусов C(e) элемента, составленной из матриц направляющих косинусов входящих в элемент узлов:

.                                                                                                               (9.6)

Например, для элемента, изображенного на рис.9.19, выражение (9.6) будет выглядеть следующим образом:

              

или

               .

Легко убедиться, что это равенство соответствует уравнениям, связывающим перемещения в локальной и глобальной системах осей координат:

,

,

,

,

.

Повторив те же рассуждения для усилий, действующих на узлы элемента, получим аналогичную (9.6) зависимость между векторами усилий, действующих на элемент, построенных для глобальной системы координат  и для локальной системы координат :

.                                                                                                            (9.7)

Усилия, действующие на узлы элемента и узловые перемещения связаны зависимостью (9.3). Запишем ее также и для локальной системы осей координат:

.                                                                                                           (9.8)

Заменим в (9.8) вектора усилий и перемещений согласно зависимостям (9.6) и (9.7):

и умножим получившееся равенство слева на матрицу , т.е. на матрицу, обратную матрице направляющих косинусов элемента: . Сопоставляя это выражение с (9.3), получим зависимость, связывающую матрицы жесткости, построенные в глобальной и локальной системах координатных осей: . Известно, что  у матрицы направляющих косинусов  обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей. Поэтому, окончательно получаем:

.                                                                                               (9.9)

Итак, если матрица жесткости элемента построена в локальной системе осей координат, то по формуле (9.9) можно получить из нее матрицу жесткости элемента в глобальной системе осей координат.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет