Главная
9.6.
Пример расчета стержневой системы методом конечных элементов
Выполним методом конечных элементов расчет системы, изображенной на рис.9.41. Как уже отмечалось, МКЭ - метод, ориентированный на использование ЭВМ. Объем вычислений при реализации этого метода, как правило, значительно превышает объем вычислений, который приходится проделывать при расчете систем с использованием классических методов строительной механики. Поэтому использование МКЭ при расчетах вручную имеет смысл только в учебных целях для лучшего усвоения учащимися процедуры метода.
Рис.9.41
Сечения всех стержней системы заданы одинаковыми и характеризуется жесткостью на растяжение - сжатие EF=106 кН и жесткостью на изгиб EI=40×106 кНм2. Как известно, при силовых воздействиях распределение усилий в стержневых системах зависит от распределения жесткостей, а не от их абсолютных величин. Поэтому, для удобства расчетов будем задавать EF=1 кН и EI=40 кНм2. Полученные в результате расчета усилия от этого не изменятся, а полученные в результате расчета перемещения нужно будет уменьшить в 106 раз.
Заменим исходную стержневую систему конечно-элементной моделью, узлы и элементы пронумеруем (рис.9.42).
Рис.9.42
Перейдем от исходной нагрузки к узловой. Закрепим узлы конечно-элементной схемы от смещений, найдем реакции во введенных связях и построим эпюру изгибающего момента в стержнях системы, т.е. решим задачу 1 (рис.9.43). Поскольку внешняя нагрузка действует только на элемент 2, достаточно рассмотреть только этот элемент (рис.9.44). Воспользовавшись табличным решением, построим эпюру изгибающего момента и определим усилия, действующие со стороны элемента на узел (рис.9.44). На стержнях остальных элементов эпюра моментов будет отсутствовать.
Рис.9.43
Рис.9.44
Во введенных связях будет действовать только одна реакция - горизонтальное усилие в узле 1, равное 18,75 кН.
Перейдем теперь к решению задачи 2. Узловая нагрузка определяется как реакции во введенных связях в задаче 1, взятые с обратным знаком. В нашем случае в качестве нагрузки будет фигурировать только горизонтальное усилие в узле 1 (рис.9.45).
Рис.9.45
Следовательно, вектор внешней нагрузки Р будет следующим:
.
Теперь построим матрицы жесткости всех элементов системы. Вопрос построения матриц жесткости был подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приведем только построенные матрицы жесткости в глобальной системе координат:
,
,
,
.
Следующим шагом является формирование глобальной матрицы жесткости в соответствии с формулой (9.13):
.
Составим теперь систему разрешающих уравнений (9.12) метода конечных элементов:
.
Поскольку на перемещение узла 2 по направлению 2 наложено ограничение, в эту систему внесем необходимые изменения:
.
Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений, получим вектор узловых перемещений:
.
Напомним, что истинные перемещения в системе будут в 106 раз меньше полученных.
Далее, необходимо определить усилия, действующие на каждый элементы системы со стороны узлов, для чего воспользуемся формулой (9.4):
,
,
;
.
Компоненты полученных векторов представляют собой усилия, действующие на узлы элементов. На данном этапе следует выполнить промежуточную проверку равновесия элементов и узлов под действием этих сил и внешней узловой нагрузки (рис.9.46).
Рис.9.46
Теперь, зная приложенные к узлам элементов усилия (рис.9.46), построить эпюру изгибающих моментов в стержнях системы не составит труда (рис.9.47). На этом решение задачи на действие только узловой нагрузки (задачи 2) заканчивается. Для построения окончательной эпюры моментов необходимо сложить решение этой задачи (задачи 2) и решение задачи 1 (рис.9.48).
Рис.9.47
Рис.9.48
Далее, как обычно, остается построить эпюры поперечного и продольных усилий, а также выполнить статическую и деформационную проверки. Эти операции предлагается проделать самостоятельно.
email: KarimovI@rambler.ru Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
