Лекции

 

 

Главная

 

58. Расчет статически неопределимых арок

 

Арки могут быть трехшарнирными – статически определимые (рассмотрели ранее); двухшарнирные – один раз статически неопределимы; одношарнирными – дважды статически неопределимы и бесшарнирные. К бесшарнирной арке можно свести задачу о своде – пространственной распорной системе. Для перехода от свода к арке следует вырезать из свода (мысленно, естественно) полосу двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии единица.

В мостовых конструкциях чаще применяются двух- и бесшарнирные арки.

 

58.1. Двухшарнирные арки

 

image001

Рис. 58.1

 

Двухшарнирная арка представляет собой шарнирно опертый криволинейный стержень, причем обе его опоры являются неподвижными (рис.58.1).

Такая арка является один раз статически неопределимой. Действительно, в ее опорах возникают четыре реакции - две вертикальных и две горизонтальных, а уравнений равновесия для арки можно составить только три.

Как показал опыт расчета, наибольшие внутренние усилия и напряжения возникают в середине пролета арок такого типа. Поэтому двухшарнирные арки часто конструируют таким образом, чтобы жесткость в центре пролета была выше, чем на опорах (рис. 58.2).

image007

Рис. 58.2

 

Например, для арок кругового очертания закон изменения момента инерции сечения по длине криволинейного стержня можно задать следующим:

где  - момент инерции сечения на оси симметрии арки, n - некоторый положительный параметр. Очевидно, при n=0 жесткость арки оказывается постоянной по ее длине.

Здесь значения угла  меняются от  до  и являются отрицательными на левой половине арки и положительными на правой. Расчет двухшарнирных арок будем выполнять методом сил. Основную систему образуем отбрасыванием горизонтальной связи на одной из опор и заменой ее действия неизвестным усилием  (рис.58.3).

Задачу, эквивалентную исходной, получим из основной системы, поставив дополнительное условие - отсутствие перемещений по направлению отброшенной связи . Неизвестное усилие  найдем из канонического уравнения метода сил:

 

Рис. 58.3

 

коэффициенты которого определяются по формулам Максвелла-Мора:

Здесь интегралы берутся по длине L криволинейного стержня арки, а остальные обозначения - стандартные, принятые в методе сил.

Таким образом, при расчете двухшарнирной арки используется алгоритм классического метода сил для один раз статически неопределимой стержневой системы, т.е. определяются законы изменения  изгибающих моментов в основной системе для грузового и вспомогательного состояний  и  соответственно, по формулам (58.3) и (58.4) вычисляются коэффициенты разрешающего уравнения метода сил (58.2), решением которого является неизвестное усилие  в одной из опор.

Окончательные эпюры моментов в арке строятся по формуле:

Остальные реакции в опорных связях находятся из уравнений равновесия.

Так, составив условие равенства нулю суммы проекций всех сил на горизонтальную ось, получим:

где  - сумма проекций внешних сил на горизонтальную ось х. Если горизонтальная составляющая нагрузки отсутствует, то горизонтальные реакции в обеих опорах оказываются равными, а сами эти реакции, как известно, представляют собой возникающий в системе распор.

Вертикальные реакции определяются из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на вертикальную ось y и суммы моментов всех сил относительно точки А:

где - сумма проекций всех внешних сил на вертикальную ось, а  - сумма моментов всех внешних сил относительно точки А.

После того, как определены опорные реакции, перерезывающие и продольные усилия в арке находятся точно также, как в статически определимой трехшарнирной арке по формулам:

где  угол наклона касательной к оси арки в данной точке (рис. 58.4). Для арок кругового очертания .

       image056

Рис. 58.4                                                               Рис. 58.5

 

Наибольшие сложности при выполнении расчета возникают при вычислении криволинейных интегралов в (58.3) и (58.4). В случае арки кругового очертания длина бесконечно малого участка арки dL связана с бесконечно малым приращением угла  зависимостью  (рис. 58.5).

image060

Рис. 58.6

 

 Рассмотрим вспомогательное состояние основной системы (рис. 58.6). Легко убедиться, что вертикальные реакции в опорах арки будут отсутствовать, а изгибающий момент в сечениях арки определяется по формуле . Таким образом, выражения (58.3) и (58.4) приобретают вид:

Интегралы (58.11) и (58.12) могут быть вычислены различными способами. В случае арки постоянной жесткости и достаточно простой нагрузки (т.е. при простом виде функции ) может быть использовано аналитическое вычисление интегралов. В более сложных случаях - численное интегрирование, например при помощи математических пакетов типа MathCad.

В качестве примера рассмотрим расчет полукруглой арки постоянной по длине жесткости, изображенной на рис. 58.7.

В грузовом состоянии в опорах арки возникают вертикальные реакции величиной P/2 каждая (рис. 58.8).

image070         image072

Рис. 58.7                                                    Рис. 58.8

 

В результате, изгибающий момент на правой половине арки составит:

На левой половине арке с учетом того, что угол φ отрицательный, изгибающий момент окажется равным

После подстановки этого выражения в (58.11) и (58.12), с учетом того, что , получим:  и

Т.к. жесткость арки постоянна, внутренние усилия в ней не зависят от величины EJ. Задав EJ=1 с помощью пакета MathCad получим:    и 

Отсюда следует:  и , и, в соответствии с (58.3), величина распора составит  кН.

Далее, в соответствии с (58.5) получим выражение для изгибающего момента на правой половине арки:

и на левой половине арки:

Зная теперь все реакции в опорах арки (горизонтальный распор кН, вертикальная реакция  кН), найдем продольное и перерезывающее усилия по формулам (58.9) и (58.10) (рис. 58.9).

Напомним, что при выводе формул (58.9) и (58.10) положительными направлениями  и  считаются такие направления, при которых соответствующие им внутренние усилия будут положительными.

 

Рис. 58.9

 

Результаты расчетов для левой половины арки приведены в таблице 58.1. Решение на правой половине арки можно построить, исходя из симметрии задачи.

 

Таблица 58.1

Угол ,

град.

Изгибающий момент

Перерезывающее усилие

 

Продольное усилие

 

-90

0

-31,83

-50,00

-75

-65,34

-17,80

-56,53

-60

-92,16

-2,57

-59,21

-45

-78,63

12,85

-57,86

-30

-25,66

27,39

-52,57

-15

+63,1

40,06

-43,69

0

+181,7

50,00

-31,83

 

Эпюры внутренних усилий для рассматриваемой арки приведены на рис. 58.10 - 58.12.

image117       image119

Рис. 58.10                                                              Рис. 58.11

image121

Рис. 58.12

 

Как и следовало ожидать, на опорах значение перерезывающего усилия равно распору, а продольных усилий - вертикальным реакциям опор. В то же время значение продольного усилия на оси арки равно распору.

Величина максимального изгибающего момента в простой балке на двух опорах, перекрывающей тот же пролет 10 м и находящейся под действием такой же нагрузки (рис.58.13) составит  кНм, что заметно выше, чем в арке. Как и в трехшарнирной арке, это связано с положительным влиянием арочного распора.

 

Рис. 58.13


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет