Лекции

 

 

Главная

 

11.2. Построение линий влияния опорных моментов
кинематическим методом

 

Для построения линии влияния какого-либо усилия  кинема­тическим методом необходимо в сооружении нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь усили­ем . В полученной основной системе перемещение по направле­нию нарушенной связи от действия подвижной одиночной силы и усилия  должно равняться нулю:

,                                                                                                       (11.7)

откуда .

Учитывая, что на основании теоремы о взаимности перемеще­ний , окончательно получим:

,                                                                                                                 (11.8)

где  - перемещение по направлению подвижной единичной нагрузки от усилия Si = 1.

Рис.11.3

 

Например, если необходи­мо определить линию влияния опорного момента в n-ом опорном сечении многопролет­ной балки, расчетная схема за­данной и основной системы принимает вид, показанный на рис.11.3.

Если подвижная единичная сила занимает произвольное положение, то  представляет собой эпюру перемещений (упругую линию) основной системы от усилия = 1.

Перемещение  от усилия = 1 по направлению этого же усилия является величиной постоянной и называется масштабом эпюры перемещений.

Изобразив примерный вид упругой линии основной системы от усилия , получим очертание линии влияния усилия , так на­зываемую модель линии влияния . Таким образом, кинематиче­ский метод дает возможность быстро получить внешний вид (мо­дель) любой линии влияния.

Для построения линии влияния усилия  необходимо вы­числить ординаты упругой линии основной системы от усилия  и поделить их на постоянную величину (-).

Рассмотрим примеры построения линий влияния усилий в не­разрезной балке кинематическим методом. Применим кинематиче­ский метод к построению линии влияния опорного момента М2 неразрезной балки (рис.11.4, а).

Для получения основной системы в сечение балки над опо­рой 2 введем шарнир и заменим нарушенную связь парными мо­ментами М2 = 1 (рис.11.4, в). Уравнение совместности деформаций имеет вид , из которого следует, что

.                                                                                                                  (11.9)

В основной системе каждый пролет можно представить как балку на двух шарнирных опорах, нагруженную одним или двумя опорными моментами. 

Уравнения прогибов и углов поворота для балки на двух опорах с одним опорным моментом М = 1 (см. рис.11.5) можно легко рассчитать методом начальных параметров. Вводя обозначение , получим:

                                                                                         (11.10)

Для облегчения подсчета ординат эпюры прогибов МP2 на рис.11.5 показана упругая линия балки на двух шарнирных опорах, нагруженной одним опорным моментом М = 1, и указаны углы поворота на опорах и прогибы через 0,2l. 

Как видно из рис.11.4, б, (n = 2) перемещение  представляет собой взаимный угол поворота двух смежных сечений основной системы на опоре n = 2. Этот угол можно подсчитать также, ис­пользуя упругую линию балки на двух опорах, показанную на рис.11.5. 

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М2 = 1:

                                                                                   (11.11)

Учитывая, что М0 = М5 = 0, а также, что M2 = 1, получаем: 

Рис.11.4

                               

 

Рис.11.5

 

Решив эту систему, получим М1 = -20/70 = -0,286кН×м. Подста­вим значение М1 во второе и третье урав­нения и умножим пос­леднее на -5 и сложим со вторым, получим последовательно:

- 33×М4 = 0 , т.е. М4 = 3/33 = 0,091 кН×м и 2М3 = -7/11, или М3 -7/22 = -0,318 кН×м.

По данным рис.11.3 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

Используя рис.11.5, вычислим для каждого пролета ординаты эпюры моментов (упругой линии) основной системы . Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл.11.1, где следует учесть, что ординаты линии влияния умножены на EJ).

Поясним методику заполнения таблицы.

Основная система расчленяется на балки на двух опорах при действии двух опорных моментов Млев и Мправ.. По принципу не­зависимости деформаций Бетти, прогибы балки подсчитываются независимо, как сумма прогибов от действия одного опорного момента (см. рис.11.5 или формулы 11.3):

,

где .

Таким образом, заполняются столбцы 3, 4 и 5 таблицы 11.1. В столбце 6 записываются ординаты линии влияния М2, подсчитан­ные по формуле (11.10). На рис.11.5, д приведена линия влияния М2.

Для построения линий влияния изгибающих моментов и попе­речных сил в сечении неразрезной балки используются зависи­мости:

;                                                                  (11.12)

                                                                                              (11.13)

где  и - ординаты эпюр Мk и Qk от внешней нагрузки в се­чении к балки пролетом ln на двух шарнирных опорах; Mn и Mn-1 - линии влияния опорных моментов неразрезной балки.

 

                                                                                                                                                                                        Таблица 11.1

Часть балки

Сече­ние

Момент на опоре приложен слева, Mлев.

Момент на опоре приложен справа, Mправ.

Момент на опоре приложен и слева и справа

Ординаты линии влияния, М2

 

 

Пролет 0-1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

0

0

0

0

0

0

-2,0592

-3,6063

-4,1184

-3,0888

0

0

-2,0592

-3,6063

-4,1184

-3,0888

0

0

0,1458

0,2551

0,2916

0,2187

0

 

 

Пролет 1-2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

-5,4912

-7,3216

-6,4046

-3,6608

0

0

12,800

22,400

25,600

19,200

0

0

7,3083

15,078

19,194

15,539

0

0

-0,1575

-1,0676

-1,3590

-1,1003

0

 

 

Пролет 2-3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

43,200

57,600

50,400

28,800

0

0

-9,158

-16,027

-18,317

-13,738

0

0

34,042

41,573

32,083

15,062

0

0

-2,4104

-2,9436

-2,2717

-1,0665

0

 

 

Пролет 3-4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

-6,1056

-8,1408

7,1232

4,0704

0

0

1,1648

2,0384

2,3296

1,7472

0

0

-4,9408

-6,1024

-4,7936

-2,3232

0

0

0,3498

0,4321

0,3394

0,1645

0

 

 

Пролет 4-5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

0,9828

1,3104

1,1466

0,6552

0

0

0

0

0

0

0

0

0,9828

1,3104

1,1466

0,6552

0

0

-0,0696

-0,0928

-0,0812

-0,0464

0

 

Ординаты линии влияния опорной реакции Rn подсчитываются по формуле:

,                                                                           (11.14)

где - линия влияния реакции шарнирной балки n, если эту эпюру рассматривать как общую для двух простых балок пролетом ln и ln+1.

На рис.11.3, еж приведены линии влияния опорных реакций  и  для неразрезной балки, приведенной на рис.11.3, а.

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет