Главная

11.3. Расчет неразрезной балки на действие постоянных

и временных нагрузок

Для неразрезной балки постоянного поперечного сечения (рис.11.6, а) требуется:

1. Построить эпюру изгибающих моментов от заданной постоянной нагрузки с помощью уравнений трех моментов;

2. Построить линии влияния опорных изгибающих моментов М₁, М₂ и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине пролета l_{2 ;}

3. По линиям влияния, полученным в п.11.2 проверить ординаты эпюры М, полученной в п.11.1;

4. От временной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 10 кН/м (может располагаться с разрывами в нескольких і пролетах балки) и заданной постоянной нагрузки построить объемлющую эпюру изгибающих моментов для пролета l₂.

Решение:

1. Построение эпюры изгибающих моментов

Для составления уравнений трех моментов получим основную систему путем введения в заданную неразрезную балку шарниров над всеми промежуточными опорами, предварительно заменив заделку дополнительным пролетом длиной l₄ =0.  Кроме того, заменим консоль с нагрузкой внешним сосредоточенным моментом М₀. Полученная основная система показана на рис.11.6, б. Напишем уравнения трех моментов для промежуточных опор:

(11.15)

В этих уравнениях: кНм; ; .

Построим эпюру изгибающих моментов в основной системе от заданной внешней нагрузки. Она представляет собой сочетание эпюр изгибающих моментов для всех пролетов балки, если каждый из них рассматривать как балку на двух шарнирных опорах. Указанная эпюра показана на рис.11.6, в. Используя эту эпюру, найдем фиктивные опорные реакции (увеличенные в EJ раз) для каждого пролета балки:

кН×м2;

кН×м2;

кН×м2;

.

Подставляя все известные числовые величины в систему уравнений (11.15), получим:

После несложных преобразований получим:

(11.16)

Умножив обе части второго уравнения на 2 и вычитая третье уравнение, получим:

.

Рис.11.6

Учитывая первое уравнение системы (11.16), получим:

(11.17)

Решая полученную систему, найдем:

 кН×м;  кН×м.

Подставляя значение М₂ в третье уравнение системы (11.16), найдем:

 кН×м.

Для проверки решения подставим найденные величины М₁, М₂ и М₃ в каждое из уравнений системы (11.16):

Результаты проверки подтверждают правильность нахождения неизвестных М₁, М₂ и М₃ . По полученным данным построим эпюру опорных моментов (на рис.11.6, г показана пунктиром). Отложив от пунктирной линии ординаты эпюры изгибающих моментов в основной системе, которая показана на рис.11.6, в, получим эпюру изгибающих моментов от постоянной внешней нагрузки для заданной неразрезной балки (рис.11.6, г).

2. Построение линий влияния опорных моментов М₁  и М₂ и изгибающего момента в сечении, расположенном посередине пролета l₂

Согласно общей методике, изложенной в п.11.2 для построения линий влияния М₁ кинематическим методом, необходимо в балке нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь моментом М₁ .

Изобразив, примерный вид упругой линии основной системы от усилия М₁ = 1, получим модель линии влияния момента М₁ .

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 1) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М₁ = 1:

Учитывая, что l₄ = 0, а М₁ = 1, получим:

Из второго уравнения имеем: М₂ = -2М₃.

Подставим это значение в первое уравнение получим:

, откуда кН×м.

Далее кН×м.

По данным рис.11.3 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 1: 

.

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.11.2, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 11.2

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М1
Пролет 0-1	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 0 0 0 0	0 0,4925 0,7776 0,6739 0	0 0,4925 0,7776 0,6739 0	0 0,17533 0,28050 0,24542 0
Пролет 1-2	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 1,8720 2,1600 1,7280 0	0 -0,5400 -0,6750 -0,5850 0	0 1,3320 1,4850 1,1430 0	0 0,52927 0,53543 0,27386 0
Пролет 2-3	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 -0,3744 -0,4320 -0,2736 0	0 0,1728 0,2160 0,1872 0	0 -0,2016 -0,2160 -0,0864 0	0 0,08773 0,07800 -0,02927 0

Аналогично строим линию влияния опорного момента М₂. Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М₂ = 1:

Учитывая, что l₄ = 0, а M₂ = 1, получим:

Решив эту систему, получим:

кН×м;    кН×м.

Взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

.

Расчеты будем вести в табличной форме (табл.11.3, где ординаты линии влияния умножены на число EJ).

Таблица 11.3

Часть балки	Сечение	Момент на опоре приложен слева	Момент на опоре приложен справа	Момент на опоре приложен и слева и справа	Ординаты линии влияния, М2
Пролет 0-1	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 0 0 0 0	0 -0,1368 -0,2160 -0,1872 0	0 -0,1368 -0,2160 -0,1872 0	0 -0,05465 -0,08775 -0,07678 0
Пролет 1-2	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 -0,3120 -0,3600 -0,2280 0	0 1,3680 2,1600 1,8720 0	0 1,0560 1,8000 1,6440 0	0 0,27386 0,53643 0,52927 0
Пролет 2-3	0 0,25 0,50 0,75 1,0	0 1,1980 1,3824 0,8755 0	0 -0,4378 -0,6912 -0,5990 0	0 0,7602 0,6912 0,2765 0	0 0,26050 0,24938 0,09357 0

Ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета , определяем по формуле:

,

где - ординаты линии влияния изгибающего момента в сечении, расположенном посередине второго пролета, если этот пролет рассматривать как балку на двух шарнирных опорах; M₁ и M₂ - ординаты линий влияния опорных моментов M₁ и M₂ .

По полученным данным строим линии влияния опорных изгибающих моментов M₁ и M₂, а также линию влияния изгибающего момента (см. рис.11.7).

Для дальнейших расчетов подсчитаем методом трапеций площади линий влияния М₁, М₂  и для каждого из пролетов.

Линия влияния М₁:

м2;

м2;

м2;

м2.

Линия влияния М₂:

м2;

м2;

м2;

м2.

Линия влияния :

м2;

м2;

м2;

м2.

3. По линиям влияния, полученным в п.2, проверка ординат эпюры М, полученным в п.1

Как известно, определение усилий с помощью линий влияния производится по формулам:

- от действия сосредоточенной силы: S = P_i y_i , где y_i - ордината линии влияния усилия S, расположенная под силой P_i ;

- от действия равномерно распределенной нагрузки: S = q_j w_j , где w_j - площадь участка линии влияния в пределах действия равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q_j .

Далее последовательно проверим по линиям влияния М₁, М₂ и ординаты эпюры изгибающих моментов, построенной в п.1, в сечениях 1, 2 и .

кН×м,

погрешность при этом составляет .

Далее определяем:

кН×м,

погрешность составляет .

Наконец находим:

кН×м,

погрешность составляет .

Рис.11.7

4. Построение объемлющей эпюры изгибающих моментов

Построим объемлющую эпюру изгибающих моментов для второго пролета балки по трем точкам 1, 2 и . Объемлющую эпюру строим при одновременном действии постоянной и временной нагрузок. Так как временная равномерно распределенная нагрузка может располагаться в одном или нескольких пролетах балки (иногда не лежащих рядом), то подсчитаем изгибающие моменты М₁, М₂ и от загружения временной нагрузкой последовательно каждого из пролетов балки. Затем суммируя отдельно все положительные и все отрицательные значения моментов в сечениях 1, 2 и от временной нагрузки и складывая с моментами от постоянной нагрузки в соответствующих сечениях (рис.11.7, б), найдем максимальные и минимальные значения изгибающих моментов в сечениях 1, 2 и .

Все подсчеты проводим в табличной форме (табл.11.4). По полученным данным строим объемлющую эпюру изгибающих моментов для второго пролета балки (рис.11.7, д).

Таблица 11.4

Сечение	Момент от постоянных нагрузок	Временная нагрузка				Mmax	Mmin
		на консоли	в пролете 0-1	в пролете 1-2	в пролете 2-3
1	-13,696	0,539	-6,311	-20,078	2,340	-10,817	-40,085
0,5l2	-10,967	0,185	-2,168	24,922	-2,571	36,074	6,228
2	-12,370	-0,168	1,974	-20,078	-7,481	-10,396	-40,097

---

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика Сопротивление материалов

Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

00:00:00