Лекции

 

 

Главная

 

64.3. Расчет бесконечно длинной балки, нагруженной
сосредоточенной силой

 

Рассмотрим балку бесконечной длины, простирающуюся в области , нагруженную в сечении с абсциссой x сосре­доточенной силой P (рис.64.4). Дифференциальное уравнение изо­гнутой оси балки записывается аналогично (64.4):

где δ(x) - единичная функция Дирака.

Общее решение (64.13) записывается аналогично (64.9). Произвольные постоянные С1, С2, С3 и С4 определяются из граничных условий задачи:

при  

при x=0,                    ;                  

C учетом (64.14) следует, что

Рис. 64.4

 

Из первого из условий (64.15) получим:

или

Следовательно, решение (64.13) запишется в виде:

Из (64.19) легко установить, что

C учетом второго условия (64.15) можно записать, что

откуда окончательно получим:

Подставляя (64.22) в (64.19), получим окончательную формулу по определению прогибов балки на упругом основании при действии сосредоточенной силы P в следующем виде:

Последовательно определяем выражение изгибающего момента и поперечной силы:

Если в выражениях (64.23)¸(64.25) принять Р = 1 кН, то эпюры y (0), Mz(0) и Qy(0) можно трактовать, как линии влияния, соот­ветственно, деформаций, изгибающих моментов и поперечных сил для сечения балки х = 0. Соответствующие эпюры приведены на рис.64.4.

Обратим внимание на тот факт, что согласно (64.25) наибольший изгибающий момент , возникающий под силой P при заданной жесткости балки EI, в большей степени зависит от жесткости основания k, т.к. коэффициент относительной жесткости основания β зависит от соотношения k и EI. Например, в случае, если балка лежит на жестком основании (k), то ; и, наоборот, в случае, если балка лежит на мягком основании (k), то . Простым подтверждением этого явления может служить то, что железнодорожные рельсы, уложенные на жесткое основание, могут безболезненно выдерживать довольно значительные поездные нагрузки. В то же время, те же рельсы, уложенные на слабое основание, либо, если рельс "провисает" (т.е. пространство между шпалами содержит пустоты), могут разрушиться при значительно меньших нагрузках.

 

64.4. Расчет балки бесконечной длины, нагруженной
системой сосредоточенных сил

 

Рассмотрим решение следующей задачи. Предположим, что на балку бесконечной длины в точках с абсциссами xj (j = 1, 2,..., N) приложена система сосредоточенных сил P1, P2, P3,...,Pn (рис.64.5).

Рис. 64.5

 

Рассматривая решение поставленной задачи, на примере рельса верхнего строения пути в качестве балки, лежащей на сплошном упругом основании при действии системы сосредоточенных грузов P1, P2, P3,  ...  , Pn , передающихся на путь от подвижного состава.

Железнодорожный путь должен отвечать требованиям прочнос­ти, жесткости и устойчивости при воздействии на него подвижного состава.

Напряжения и деформации, возникающие в опасных сечениях конструкции верхнего строения пути должны удовлетворять условиям прочности и жесткости, т.е.

где , ymax - соответственно, максимально возможное значение напряжений и прогибов конструкции в опасных сечениях; , - предельно допустимые величины напряжений и прогибов.

В данном случае формулы по определению прогибов, изгиба­ющих моментов и поперечных сил в сечениях с координатами xn (n = 1, 2, ... , N) на основании теоремы о независимости действия внешних сил в упругих системах и теоремы о взаимности можно записать в виде

Последовательно определяем выражение изгибающего момента и поперечной силы:

По максимальному значению момента, вычисляемому по (64.29):

в опасном поперечном сечении рельса в опасных точках вычисля­ется максимальное значение нормальных напряжений:

где Wz - момент сопротивления поперечного сечения рельса пути.

Прочность рельса пути считается обеспеченной, если выполняется условие

где R - расчетное сопротивление материала конструкции инвентар­ного верхнего строения пути.

Основные геометрические характеристики стандартных рельсов приведены в таблице 64.2.

                                                                                                                               

Таблица 64.2. Основные геометрические характеристики стандартных рельсов

 

Геометрические

характеристики

Тип рельсов

Р38

Р43

Р50

Р65

Р75

ГОСТ

3542-47

7173-54

7174-75

8161-75

16210-77

Моменты инерции, 10-8 м4

Jz

Jy

1222,5

209,3

1489,0

260,0

2011,0

375,0

3548,0

569,0

4490,0

661,0

Масса пог, кг

q

38,4

44,7

51,7

64,7

74,4

Моменты сопротивления

относительно осей, 10-6 м3

Wzниз

Wzгол

Wyпод

182,0

180,3

36,7

208,3

217,3

45,6

248,0

286,0

57,1

358,0

435,0

76,3

509,0

432,0

88,0

Основные размеры сечения

рельса, мм

H

bпод

hгол

bгол

𝛿

135,0

114,0

40,0

68,0

13,0

140,0

114,0

42,0

70,0

14,5

152,0

132,0

42,0

71,9

16,0

180,0

150,0

45,0

75,0

18,0

192,0

160,0

48,5

75,0

20,0

Площадь сечения,  10-4 м2

A

49,1

57,0

65,9

82,6

95,1

 

64.5. Расчет элементов верхнего строения железно­дорожного пути как

балки бесконечной длины на упругом основании

 

Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в элементах железнодорожного пути. Характеристика пути: рельсы типа Р43; шпалы сосновые: длина шпалы 2,7 м, ширина 0,25 м; балласт песчаный с коэффициентом постели k1 = 50 МПа (см. табл.64.1), площадь подкладки ω= 4,6410-м2 ; локомотив -тепловоз серии ТЭЗ с нагрузками от колес на рельс (105 + 105 + 105 + 105 + 105 + 105) кН с расстояниями между колесами (2,1 + 2,1 + 4,4 + 2,1 + 2,1) м (рис.64.6).

Рис. 64.6

 

Решение:

1. Определение прогибов и внутренних усилий

Последовательно вычисляем или находим по таблицам все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:

 

Рис. 64.7

 

Iz = 1,48910-5 м4;     Wz = 2,08310-4 м3; (см. табл.64.2)

EIz = 2,110111,48910-5 = 3,127106 Нм2;

k = k1b = 501060,14 = 7,0106 Па.

Площадь полушпалы Ω = l×b/2 = 2,7×0,25/2 = 0,3375 м2.

Определим м. Таким образом, в расче­те будем учитывать нагрузки лишь от трех колес локомотива.

Разбиваем балку на участки в точках 1, 2,..., 11. На балку действует система сосредоточенных грузов Р1 РР= 105 кН, при­ложенных в сечениях 4, 6 и 8 системы (рис.64.7, а).

Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл.64.4 - 64.6), по формулам (64.28)¸(64.30), для чего в каждом сечении определяется параметр βx. По этому параметру в табл.64.3 находятся соответствующие значения специальных функций от действия отдельно каждой из нагрузок. Остальное ясно из таблиц 64.4 - 64.6.

 

Таблица 64.3

βx

0,0

1,0000

1,0000

1,0000

0,1

0,9907

0,8100

0,9003

0,2

0,9651

0,6398

0,8024

0,3

0,9267

0,4888

0,7077

0,4

0,8784

0,3564

0,6174

0,5

0,8231

0,2415

0,5323

0,6

0,7628

0,1431

0,4530

0,7

0,6997

0,0599

0,3708

p/4

0,6448

0,0000

0,3224

0,8

0,6354

-0,0093

0,3131

0,9

0,5712

-0,0657

0,2527

1,0

0,5083

0,1108

0,1988

1,1

0,4476

-0,1457

0,1510

1,2

0,3899

0,1716

0,1091

1,3

0,3355

-0,1897

0,0729

1,4

0,2849

-0,2011

0,0419

1,5

0,2384

-0,2068

0,0158

p/2

0,2079

-0,2079

0,0000

1,6

0,1959

-0,2077

-0,0059

1,7

0,1576

-0,2047

-0,0235

1,8

0,1234

-0,1985

-0,0376

1,9

0,0932

-0,1899

-0,0484

2,0

0,0667

-0,1794

-0,0563

2,1

0,0439

-0,1675

-0,0618

2,2

0,0244

-0,1548

-0,0652

2,3

0,0080

-0,1416

-0,0668

3π/4

0,0000

-0,1340

-0,0670

2,4

-0,0056

-0,1282

-0,0669

2,5

-0,0166

0,1149

-0,0658

2,6

-0,0254

-0,1019

-0,0636

2,7

-0,0320

-0,0895

-0,0608

2,8

-0,0369

-0,0777

-0,0573

2,9

0,0403

-0,0666

-0,0534

3,0

-0,04226

-0,05632

-0,04929

3,1

-0,04314

-0,04688

-0,04501

π

-0,04321

-0,04321

-0,04321

3π/2

-0,00898

0,00898

0,0000

0,00187

0,00187

0,00187

 

Таблица 64.4

сеч.

Расстояние x до сечения от

нагрузки, м (в скобках

значение аргумента βx

Значения функции ηi в

соответствующих точках

от действия нагрузки

10-3 м

P1

P2

P3

P1

P2

P3

1

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

-7,35 (6,3)

-0,0334

-0,0123

0,0019

-0,0438

-0,2845

2

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

-6,30 (5,4)

0,1181

-0,0357

-0,0003

0,0821

0,5323

3

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

0,5659

-0,0334

-0,0123

0,5202

3,3738

4

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

1,0000

0,1181

-0,0357

1,0823

7,0194

5

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

0,5659

0,5659

-0,0334

1,0985

7,1240

6

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

0,1181

1,0000

0,1181

1,2363

8,0177

7

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-0,0334

0,5659

0,5659

1,0985

7,1240

8

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-0,0357

0,1181

1,0000

1,0824

7,0194

9

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-0,0123

-0,0334

0,5659

0,5202

3,3737

10

6,30 (5,4)

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

-0,0003

-0,0357

0,1181

0,0821

0,5323

11

7,35 (6,0)

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

0,0019

-0,0123

-0,0334

-0,0438

-0,2845

 

Таблица 64.5

сеч.

Расстояние x до сечения от

нагрузки, м (в скобках

значение аргумента βx

Значения функции ψi в

соответствующих точках

от действия нагрузки

кНм

P1

P2

P3

P1

P2

P3

1

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

-7,35 (6,3)

-0,0865

0,0087

0,0016

-0,0762

-2,312

2

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

-6,30 (5,4)

-0,1972

-0,0108

0,0061

-0,2020

-6,130

3

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

-0,0699

-0,0865

0,0087

-0,1477

-4,481

4

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

1,0000

-0,1972

-0,0108

0,7919

24,031

5

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

-0,0699

-0,0699

-0,0865

-0,2263

-6,866

6

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-0,1972

1,0000

-0,1972

0,6054

18,374

7

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-0,0865

-0,0699

-0,0699

-0,2262

-6,866

8

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-0,0108

-0,1972

1,0000

0,7919

24,031

9

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-0,0087

-0,0865

-0,0699

-0,1477

-4,481

10

6,30 (5,4)

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,0061

-0,0108

-0,1972

-0,2020

-6,130

11

7,35 (6,0)

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

0,0016

-0,0087

-0,0865

-0,0762

-2,312

 

Таблица 64.6

сеч.

Расстояние x до сечения от

нагрузки, м (в скобках

значение аргумента βx

Значения функции ψi в

соответствующих точках

от действия нагрузки

кН

P1

P2

P3

P1

P2

P3

1

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

-7,35 (6,3)

0,0599

0,0018

-0,0017

0,0600

3,151

2

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

-6,30 (5,4)

0,0395

0,0233

-0,0029

0,0599

3,148

3

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

-5,25 (4,5)

-0,2480

0,0599

0,0018

-0,1863

-9,779

4

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

-1,0000

0,0395

0,0233

-0,9371

-49,199

4'

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-4,20 (3,6)

1,0000

0,0395

0,0233

1,0628

55,797

5

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-3,15 (2,7)

0,2480

-0,2480

0,0599

0,0599

3,1448

6

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-0,0395

-1,0000

0,0395

-1,0000

-52,500

6'

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-2,10 (1,8)

-0,0395

1,0000

0,0395

1,0000

52,500

7

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-1,05 (0,9)

-0,0599

0,2480

-0,2480

-0,0599

-3,1448

8

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-0,0233

-0,0395

-1,0000

-1,0628

-55,797

8

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,00 (0,0)

-0,0233

-0,0395

1,0000

0,9371

49,199

9

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

1,05 (0,9)

-0,0018

-0,0599

0,2480

0,1863

9,779

10

6,30 (5,4)

4,20 (3,6)

2,10 (1,8)

0,0029

-0,0233

-0,0395

-00599

-3,148

11

7,35 (6,0)

5,25 (4,5)

3,15 (2,7)

0,0017

-0,0018

-0,0599

-0,0600

-3,151

 

По этим результатам построены эпюры прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис.64.7, бвг).

2. Определение напряжений в элементах верхнего строения пути

Напряжения от изгиба в подошве рельса:

Значения напряжений на шпале под подкладкой и на баласте под шпалой будут соответственно равны:


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет