Лекции

 

 

Главная

 

64.6. Расчет коротких балок на упругом основании.

Функции Крылова

 

Рис. 64.8

 

Значительно более сложным оказывается решение для коротких балок, когда требуется учесть условия на обоих концах балки. К таким балкам относится, например, рельсовый путь на шпалах (рис.64.8). Для коротких балок нельзя использовать решения, полученные для балок бесконечной длины и требуется исходить из общего интеграла (17.9), содержащего четыре произвольные постоянные интегрирования. Для решения обычно пользуются нормальными фундаментальными функциями уравнения (64.5). Эти функции называемые функциями Крылова, являются решениями однородного уравнения (64.5) и удовлетворяют специальным условиям при x = 0.

Cоставим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций Крылова и их производных:

Так как во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной диагонали единицы, то система частных решений Uk , называется системой с единичной матрицей. Эти решения суть:

Следует отметить, что производные функций Крылова (64.35) выражаются снова через те же функции, причем:

Таким образом, общий интеграл уравнения (64.9) может быть представлен через функции Крылова:

Постоянные интегрирования C, C, C, C4  имеют здесь со­вершенно определенный смысл. Действительно, если положить x = 0, и воспользоваться свойством (64.34) введенных функций, получим:

Таким образом:

Формула (64.39) представляет общий интеграл уравнения (64.5). Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это на­чальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле (64.39), и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров.

Согласно метода начальных параметров, балка разбивается на участки. Подставив (64.38) в (64.39), получим функцию прогибов на I участке балки:

Пользуясь приведенными в (64.36) правилами дифференцирования от функций прогибов (64.40) переходим к углам поворота  и далее по формулам (64.25), (64.26) к внутренним усилиям на I участке:

Функцию  продолжаем на второй и последующие участки. Приращения  этой функции будут зависеть от приращений внутренних сил ,  и интенсивности нагрузки на границах между участками . Добавляя эти приращения к функции прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил, получим универсальные формулы:

здесь для краткости обозначено ;  - абсцисса i-ой границы между участками.

Как и в обычной балке, в начале координат часть начальных параметров бывает известна, а остальные определяются из гранич­ных условий, формируемых для противоположного конца стержня.

С целью облегчения вычислений при выполнении практических расчетов балок на упругом основании в таблице 64.7 приводят­ся значения тригонометрических, гиперболических функций и функций Крылова при заданном аргументе.

 

Таблица 64.7

βz

sinβz

cosβz

shβz

chβz

βU2(βz)

β2U3(βz)

β3U4(βz)

0,0

0,0000

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,1

0,0998

0,9950

0,1002

1,0050

0,9999

0,1000

0,0050

0,0002

0,2

0,1987

0,9801

0,2013

1,0201

0,9998

0,1999

0,0200

0,0024

0,3

0,2955

0,9553

0,3045

1,0453

0,9986

0,2999

0,0450

0,0045

0,4

0,3894

0,9210

0,4108

1,0811

0,9957

0,3997

0,0800

0,0107

0,5

0,4794

0,8776

0,5211

1,1276

0,9896

0,4989

0,1249

0,0208

0,6

0,5646

0,8253

0,6367

1,1855

0,9784

0,5974

0,1797

0,0360

0,7

0,6442

0,7648

0,7586

1,2552

0,9600

0,6944

0,2443

0,0571

π/4

0,7071

0,7071

0,8687

1,3246

0,9366

0,7754

0,3071

0,0806

0,8

0,7173

0,6967

0,8881

1,3374

0,9318

0,7890

0,3185

0,0851

0,9

0,7833

0,6216

1,0265

1,4331

0,8908

0,8803

0,4020

0,1211

1,0

0,8415

0,5403

1,1752

1,5431

0,8337

0,9667

0,4944

0,1659

1,1

0,8912

0,4536

1,3356

1,6685

0,7568

1,0464

0,5951

0,2203

1,2

0,9320

0,3624

1,5095

1,8107

0,6562

1,1173

0,7034

0,2851

1,3

0,9636

0,2675

1,6984

1,9709

0,5272

1,1767

0,8183

0,3612

1,4

0,9854

0,1700

1,9043

2,1509

0,3656

1,2216

0,9382

0,4489

1,5

0,9975

0,0707

2,1293

2,3524

0,1663

1,2485

1,0620

0,5490

π/2

1,0000

0,0000

2,3013

2,5092

0,0000

1,2546

1,1507

0,6273

1,6

0,9996

-0,0292

2,3756

2,5775

-0,0753

1,2536

1,1873

0,6615

1,7

0,9917

-0,1288

2,6456

2,8283

-0,3643

1,2320

1,3118

0,7864

1,8

0,9738

-0,2272

2,9422

3,1075

-0,7060

1,1788

1,4326

0,9236

1,9

0,9463

-0,3233

3,2682

3,4174

-1,1049

1,0886

1,5463

1,0726

2,0

0,9093

-0,4161

3,6269

3,7622

-1,5655

0,9559

1,6420

1,2320

2,1

0,8632

-0,5048

4,0219

4,1443

-2,0920

0,7736

1,7359

1,4019

2,2

0,8084

-0,5885

4,4571

4,5679

-2,6882

0,5348

1,8016

1,5789

2,3

0,7457

-0,6663

4,9370

5,0372

-3,3563

0,2334

1,8408

1,7614

3π/4

0,7071

-0,7071

5,2280

5,3228

-3,7634

0,0335

1,8484

1,8651

2,4

0,6754

-0,7374

5,4662

5,5569

-4,0976

-0,1388

1,8459

1,9460

2,5

0,5985

-0,8011

6,0502

6,1323

-4,9126

-0,5883

1,8105

2,1292

2,6

0,5155

-0,8569

6,6947

6,7690

-5,8003

-1,1236

1,7256

2,3065

2,7

0,4274

-0,9041

7,4063

7,4735

-6,7568

-1,7509

1,5827

2,4725

2,8

0,3390

-0,9422

8,1919

8,2527

-7,7757

-2,4604

1,3885

2,6290

2,9

0,2392

-0,9710

9,0596

9,1146

-8,8503

-3,3083

1,0835

2,7443

3,0

0,1411

-0,9900

10,0179

10,0677

-9,9670

-4,2486

0,7068

2,8346

3,1

0,0416

-0,9991

11,0765

11,1215

-11,1114

-5,3019

0,2304

2,8822

π

0,0000

-1,0000

11,5487

11,5920

-11,5920

-5,7960

0,0000

2,8872

 

 

64.7. Расчет шпалы рельсового пути, как короткой балки

на упругом основании

 

Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в железобетонных шпалах E = 3,051010 Н/м2, длиной 2l = 2,7 м, с размерами поперечного сечения b × h = 0,25×0,18 м2, лежащей на балластном слое щебня k= 75 МПа (см. табл.64.1), нагруженной двумя силами P = 210 кН каждый, приложенных на расстоянии a = 0,54 м от ее концов (рис.64.8).

Решение:

1. Расчет начальных параметров

Последовательно вычисляем все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:

Поместим начало системы координат xy в центре тяжести левого крайнего сечения шпалы. Граничные условия задачи в начальном сечении при = 0 запишем в виде:

Согласно (64.40)¸(64.43) запишем функции прогибов, углов поворота и внутренних усилий для I участка (0≤xa):

Составим соответствующие выражения для II участка (), учтя, что на границе участков I и II, т.е. при x = a и имеем скачок функции поперечной силы на величину :

Для определения y0 и φ0, используем симметричный характер нагружения балки относительно среднего сечения x = l, где имеем:

φ(l) = 0;     Q(l) = 0.

Составим следующую систему уравнений:

Cогласно (64.54) и (64.55), учитывая, что

βl= 1,06×1,35 » 1,5;     β(l-a) = 1,06×(1,35 - 0,54) = 0,9,

с учетом данных таблицы 64.7, получим:

После ряда преобразований приходим к системе:

корни которой принимают значения:

В качестве условия проверки правильности вычисления значе­ний начальных параметров, подставим их  значения в (64.54) и (64.55), получим:

Следовательно, величины y0 и φ0 определены верно.

2. Определение прогибов, углов поворота и внутренних усилий

Разобьем балку на 10 участков. Используем симметрию задачи, поэтому будем рассматривать только половину балки, т.е. сечения 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5 (см. рис.64.9, а). Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл.64.8). Поэтому, согласно (64.52), запишем выражения прогибов, углов поворота и внутренних усилий для I и II участков:

Участок I.

Сечение 0, x = 0:

y0 = 8,6810-3 м; φ0 = -2,510-4 рад; M0 = 0; Q0 = 0.

Cечение 1, x = 0,27 м.

Cечение 2, x = 0,54 м.

Участок II.

Cечение 2’, x = 0,54 м.

Cечение 3, x = 0,81 м.

Сечение 4, x = 1,08 м.

Сечение 5, x = 1,35 м.

Результаты расчетов внесены в таблицу 64.8 и по этим значениям построены эпюры прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис.64.9, бвг).

                                                                                                                                                      

Таблица 64.8

сеч.

x

βx

β(x-a)

U1

U2

U3

U4

y,

10-2 м

φ,

10-3 рад

M,

кНм

Q,

кН

0

0

0

-

1,000

0,000

0,000

0,000

8,680

-0,250

0,000

0,000

1

0,27

0,3

-

0,999

0,299

0,045

0,004

8,597

-0,251

6,50

45,82

2

0,54

0,6

-

0,978

0,597

0,179

0,036

8,352

-1,570

25,87

90,90

2

0,54

0,6

0

0,978

0,597

0,179

0,036

8,352

-1,570

25,87

-119,1

3

0,81

0,9

0,3

0,891

0,880

0,402

0,121

7,738

-2,413

1,71

-76,33

4

1,08

1,2

0,6

0,656

1,117

0,703

0,285

7,143

-1,938

-17,67

-36,98

5

1,35

1,5

0,9

0,166

1,249

1,062

0,549

6,904

0,000

-22,85

-0,04

 

Рис. 64.9

Вопросы для самопроверки

- Раскройте суть гипотезы Винклеровского основания.

- Поясните физический смысл коэффициента постели.

- Дайте определение относительно коротких  и балок бесконечной длины

- Подчеркните отличительные особенности между дифференциальными уравнениями изгиба обычных балок и балок на упругом основании.

- Какими свойствами должны обладать функции Крылова.

- Сформулируйте условия достаточной жесткости и прочности конструкций на упругом основании.

- Что понимается под термином «балка на упругом основании»?

- Сформулируйте   предпосылки, на которых построен расчет балок на упругом основании?

- Напишите общее выражение для интенсивности нагрузки балки на упругом основании и сформулируйте смысл параметров, входящих в это выражение?

- Получите дифференциальные уравнения для прогибов и изгибающих моментов балки на упругом основании?

- Напишите уравнение для изгибающих моментов балки на упругом основании по методу начальных параметров?

- Опишите технику написания выражения для М балки на упругом основании по методу начальных параметров?

- Приведите дифференциальные соотношения между функциональными коэффициентами А, В, С, D.

- Получите выражения для Q, р, р' путем дифференцирования выражения для М.

- Какие начальные параметры входят в уравнения балки на упругом основании и как они находятся?

- Опишите технику решения задач балки на упругом основании по методу начальных параметров?


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет