Главная

 

65. Устойчивость сооружений

 

65.1. Предмет и задачи устойчивости

 

Кроме прочности и жесткости, сооружение обязательно должно быть устойчивым. Это потому, что при потере устойчивости сооружение или разрушается, или становится непригодным для дальнейшей эксплуатации. Например, даже такой простейший элемент как прямолинейный длинный стержень при действии продольной сжимающей силы может резко изогнуться и потерять свою первоначальную прямолинейную форму. В практике строительства и эксплуатации различных сооружений (мостов, высотных зданий и др.) известны случаи их разрушения из-за потери устойчивости.

Устойчивость – это способность сооружения сохранять свое первоначальное  положение  или  форму. 

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооружение отклоняется от исследуемо­го положения или равновесного состояния, однако после исчезно­вения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упруго-пластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесном сос­тоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявля­ет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее - до нового положения или новой формы равновесного состояния.

Переход  устойчивого сооружения в неустойчивое состояние называется потерей устойчивости. Граница перехода в неустойчивое состояние называется критическим  состоянием.  Сила,  приводящая  сооружение  в  критическое  состояние, называется  критической  силой.  Критическую  силу  будем  обозначать Pкр.

Ответ на вопрос «устойчиво или неустойчиво сооружение?» является очень важной задачей, потому что для потери устойчивости сооружения, достигшего критического состояния, достаточно и незначительной причины. Если же процесс потери устойчивости начался, он идет очень быстро и приводит к резкому изменению первоначальной формы или разрушению частей или всего сооружения.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­жения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Устойчивость положения – это способность сооружения сохранять свое положение. Например, при действии на подпорную стенку нагрузки q (рис. 65.1,а), относительно точки А создается опрокидывающий момент , от чего подпорная стенка может потерять устойчивость (рис. 65.1,б). Этому противостоит собственный вес подпорной стенки G, создающий удерживающий момент . Устойчивость системы зависит от соотношения этих моментов, так как при:

1)  – система устойчива;

2)  – система неустойчива;

3)  – система безразлична.

15_01

Рис. 65.1

 

Устойчивость формы – способность сооружения сохранять свою первоначальную форму.

Например, если верхний конец стержня с действующей продольной силой P немного отклонить в сторону (рис. 65.2,а), он при P<Pкр вернется в исходное положение. Такая система является устойчивой.

 

15_02_rus

Рис. 65.2

 

Если же P>Pкр, перемещения стержня начинают возрастать (рис.65.2,б). Такая система в исходное состояние вернуться не может. Поэтому ее называют неустойчивой.

Если P=Pкр, система остается в безразличном состоянии (рис. 65.2,в).

Таким образом, в зависимости от величины приложенной нагрузки система может быть устойчивой, неустойчивой или безразличной. На рисунках 65.2,а-в показаны схематические аналоги устойчивой, неустойчивой и безразличной систем.

Потеря устойчивости делится на 2 рода.

Потеря устойчивости первого рода (потеря устойчивости по Эйлеру) связана с появлением нового вида деформации и характеризуется нарушением равновесия между нагрузкой и внутренними усилиями и свойственна только упругим системам. Она может быть трех типов:

– потеря устойчивости центрального сжатия (рис. 65.2,б);

– потеря устойчивости симметричной формы деформации (рис. 65.3,а, б);

– потеря устойчивости плоской деформации (рис. 65.3,в).

 

15_04_rus

Рис. 65.3

 

Потеря устойчивости второго рода наблюдается при потере несущей способности всего сооружения и характеризуется резким возрастанием предыдущих деформаций. В этом случае равновесие между нагрузкой и внутренними усилиями нарушается даже без появления новых видов деформаций (рис. 65.4,а-в):

 

15_05

Рис. 65.4

 

Основной задачей теории устойчивости является определение критической силы Pкр. Поскольку потерявшее устойчивость сооружение обычно непригодно для дальнейшей эксплуатации, определять форму потери устойчивости сооружения во многих случаях не требуется. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

Если на систему действует несколько сил (рис. 65.5,а), определять их критические значения одновременно довольно трудно. Поэтому одну из сил (обычно наибольшую) принимают за основную и обозначают P, а остальные выражают через него (рис. 65.5,б). Тогда вместо определения нескольких критических сил можно определять только одну (наибольшую).

 

15_06

Рис. 65.5

 

 

65.2. Критерии определения устойчивости упругих систем

 

Расчеты на устойчивость проводят обособленно от расчетов на прочность, являющихся основными.

Исследование устойчивости ведутся при следующих допущениях:

- рассматривают только узловое приложение нагрузки, при этом поперечный изгиб стержней отсутствует;

- стержни рамы считают нерастяжимыми и несжимаемыми;

- расстояния между узлами при деформациях неизменяемые (это допущение применяют только при статическом методе расчета).

Расчет на устойчивость можно вести тремя методами: статическим, энергетическим и динамическим.

Статический метод основан на составлении уравнений статики. Суть статического метода заключается в следующем. Иссле­дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состоя­ния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных усло­вий по исходному состоянию, является критическим.

Алгоритм статического метода состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

– составить уравнения равновесия внешних и внутренних сил;

– из этих уравнений определить критическую силу.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практиче­ских расчетов упругих консервативных систем.

В основе энергетического метода заложен известный прин­цип Лагранжа-Дирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потен­циальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия - то максимумом; а если в безразличном, т.е. кри­тическом - то потенциальная энергия является постоянной вели­чиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциаль­ной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU = dV - dT,

где dV - вариация потенциальной энергии внутренних сил; dT -вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­гетического критерия, определяется из условия

dU = 0   или   dV = dT.

Алгоритм энергического метода состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

– определить приращения работ внешних и внутренних сил;

 из условия их равенства определить критическую силу.

Динамический метод основан на изучении колебаний системы. При решении задач устойчивости по динамическому методу исходят из предположения, что колеблющаяся система около свое­го положения равновесия, не способна возвращаться к первона­чальному положению. Данное предположение равносильно утверж­дению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стремится к нулю, т.е.  = 0 (i = 1, 2, 3, ...). Здесь  - собственная частота рассматриваемой системы при i-ой форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому крите­рию составляется уравнение собственных колебаний заданной си­стемы, далее определяется выражение частот собственных колеба­ний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­та основного тона поперечных колебаний выражается формулой

,

где  - собственная частота поперечных колебаний при отсутст­вии сжимающей силы, т.е. при = 0.

Очевидно, что при ,  и период колебаний , т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоя­нию.

Алгоритм динамического метода также состоит из трех этапов:

– задать системе малые перемещения;

 записать уравнение движения системы;

– из условия равенства нулю частоты собственных колебаний системы определить критическую силу.

 

65.3. Задача Эйлера

 

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного поперечного сечения, расположенной на двух шар­нирно опертых концах, при действии продольной силы перемен­ной величины Р (рис.65.6).Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII века.

Рис.65.6

 

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р, очевидно, что в попереч­ных сечениях стержня во­зникают только продольно сжимающие силы и стер­жень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая дан­ную форму деформирован­ного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р = Pкр  стержень изогнется, т.е. в некотором новом равновесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис.65.6.

Обозначая величину прогибов стержня через y (z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

.

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

.                                                                                                             (1)

Принимая обозначение

,                                                                                                                                   (2)

уравнение (1) можно представить в следующем виде:

.                                                                                                                          (3)

Решение (3) имеет следующий вид:

.                                                                                                     (4)

Произвольные постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y(0) = 0; y(l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С2 = 0, а из второго

.                                                                                                                           (5)

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С1 = 0, либо же .

В первом случае получается, что С1 С= 0 и перемещения согласно (4) тождественно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равновесному сос­тоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. пред­полагая, что С1 ¹ 0, из (5) следует, что . Откуда следует, что , где n = 1,2,3,... С учетом выражения (13.2), получим . Наименьшая критическая сила  получается при n=1:

.                                                                                                                          (6)

Эта сила носит название первой критической или эйлеровой силы. Решение (4) при С1 ¹ 0 C2 = 0 принимает вид .

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. Поэтому мы далее будем рассматривать решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.

Использовать этот метод для совокупности стержней, представляющих конструкцию в целом, затруднительно из-за громоздкости вычислений. Были предложены статические методы: метод сил и метод перемещений (на их основе - и другие способы). Метод перемещений считают более предпочтительным. Аналогично, как и при решении задач статики, метод перемещений эффективнее в том случае, когда имеется набор решений для элементарных состояний, взятых из таблиц характерных эпюр и формул определения их ординат.

 

65.4. Устойчивость стержней с различными
концевыми условиями их закрепления

 

Рассмотрим однопролетный упругий стержень постоянного поперечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси недеформирован­ного стержня. Поместим начало системы декартовых координат xyz в центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по продольной недеформированной оси стержня, а ось y - по направ­лению наименьшей жесткости поперечного сечения.

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (кри­тическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформиро­ванного стержня и поворачиваться вокруг оси x (рис.65.7).

Рис.65.7

               

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (1), получим диф­ференциальное уравнение, описывающее деформированное состоя­ние рассматриваемого стержня в общем виде:

.                                                                   (7)

Общее решение которого имеет вид:

.                                                    (8)

Составляя первые три производные от функции прогиба, соста­вим выражение для углов поворота, изгибающих моментов и попе­речных сил, возникающих в произвольном сечении, расположен­ном на расстоянии  от начала принятой системы коорди­нат:

                     (9)

Произвольные постоянные С1, С2, С3 и С4 определяются из граничных условий закрепления стержня. Очевидно, что произ­вольные постоянные в первоначальном, т.е. докритическом равно­весном состоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тождественно приравнивают нулю, так как в первона­чальном равновесном состоянии (1) (см. рис.65.7) имеем:

.

Рис.65.8

 

В новом равновесном (критическом) состоя­нии необходимо учесть, что независимо от гра­ничных условий закреп­ления стержня произ­вольные постоянные С1, С2, С3 и С4 одновре­менно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является необходимым и доста­точным условием для определения нового равновесного состояния системы соответственно величинам критических значений внешних продольных сил Р.

Продемонстрируем данный подход при решении задач по опре­делению критической величины силы Р для стержней с различ­ными концевыми условиями закрепления (рис.65.8).

В случае, когда стержень c двумя концами шарнирно оперт (pиc.65.8, а), граничные условия задачи имеют вид:

y(0) = y(l) = 0;   Mx(0) = Mx(l) = 0.

Подставляя выражения прогиба и изгибающего момента соответственно из (8) и (9) в граничные условия задачи, получим:

Однако из тpетьего ypавнения, а затем из пеpвого ypавнения поcледней cиcтемы легко ycтановить, что в данном cлyчае C= 0, C1 = 0, cледовательно, алгебpаичеcкая cиcтема отноcительно неиз­веcтных пpоизвольных поcтоянных пpинимает вид:

Так как C2 и C3 одновpеменно не могyт быть pавными нyлю в новом - кpитичеcком pавновеcном cоcтоянии cтеpжня, поэтомy не­обходимо тpебовать, чтобы опpеделитель поcледней cиcтемы одно­pодных ypавнений был pавен нyлю, т.е.

 или .

Откyда cледyет, что . Из pешения поcледнего ypавне­ния полyчим , (n = 1,2,3...).

С учетом (2), при n = 1, выражение наинизшего значения кpитичеcкой cилы Ркр окон­чательно опpеделяетcя:

Поcледнее выpажение, как нетpyдно заметить, полноcтью cов­падает c pезyльтатом pешения задачи Эйлеpа.

Для cтеpжня, изобpаженного на pиc.65.8, б, гpаничные ycловия задачи имеют вид:

;   

Подcтавляя выpажения пpогибов, yглы повоpотов и изгиба­ющих моментов в гpаничные ycловия задачи, полyчим:

Из тpетьего ypавнения cледyет, что C= 0. C yчетом данного обcтоятельcтва поcледняя cиcтема ypавнений окончательно запиcы­ваетcя в виде:

Откуда имеем:

.

Раcкpывая опpеделитель и поcле некотоpых пpеобpазований полyчим: . Hаименьший коpень данного ypавнения являет­cя . Cледовательно, кpитичеcкое значение внешней cилы опpеделяетcя по фоpмyле

.

Для cтеpжня, изобpаженного на pиc.65.8, в гpаничные ycловия задачи запиcываютcя в виде y(0) = y(l) = 0; y¢(l) = 0; Mx(0) = 0. Cледовательно, cиcтема ypавнений отноcительно пpоизвольных поcтоянных в данном cлyчае запиcываетcя в фоpме:

Из поcледнего ypавнения имеем, что C= 0, cледовательно в пеpвом ypавнении C= 0. Поэтомy cиcтема ypавнений пpеобpазyетcя к видy:

Опpеделитель котоpого в кpитичеcком cоcтоянии cтеpжня дол­жен быть pавен нyлю, т.е.

.

Откyда имеем: . Hаименьший коpень поcледнего ypавнения пpинимает значение , cледовательно,

.

И наконец, pаccмотpим cтеpжень c двyмя защемленными кон­цами, изобpаженный на pиc.65.8, г, гpаничные ycловия котоpого yдовлетвоpяют ycловиям y(0) = y(l) = 0; y¢(0) = y¢(l) = 0.

Откуда

.

Раcкpывая поcледний опpеделитель и поcле pяда пpеобpазова­ний полyчим: , наименьший коpень кото­pого имеет значение . Cледовательно, кpитичеcкое значение cилы Р бyдет

.

 

65.5. Выражения изгибающих моментов и поперечных
сил в концевых сечениях стержней

 

Следуя статическому критерию, при решении задач устойчи­вости рамных систем, метод перемещений, наряду с другими клас­сическими методами, является наиболее эффективным методом.

При применении метода перемещений для решения задач ус­тойчивости статически неопределимых рамных стержневых систем, важным этапом является определение выражения внутренних уси­лий узловых сечениях элементов основной системы, с учетом нали­чия продольной силы при единичном угловом или линейном сме­щении узлов основной системы.

В связи с этим для расчета рам на устойчивость необходимо предварительно определить выражение изгибающих моментов и поперечных сил в концевых сечениях стержней при различных концевых условиях их закрепления и одновременном действии продольной сжимающей силы и единичном линейном или угловом смещении одного из концов рассматриваемого стержня.

С этой целью постоянные С1, С2, С3, С4 в выражениях (8) и (9) выразим через начальные параметры y, , M, Q0 стержня, изображенного на рис.65.7. С учетом начальных условий, т.е. y = = y, y¢ =, Mx = M, Qy = Q0 при z = 0 из (8) и (9) получим

Откуда, определяя выражения постоянных и подставляя в выражения (8) и (9), получим:

                           (10)

Для дальнейшего нужно будет иметь выражения изгибающих моментов и поперечных сил на концевых сечениях стержня при двух вариантах закрепления - жестко защемленного с двумя концами, жестко защем­ленного на одном конце и шарнирно опертого на другом.

Рис.65.9

 

Подробно рас­смотрим стержень, изображенный на рис.65.9 при  = 1. Для деформирован­ного состояния (2) имеем следующие граничные условия:

С учетом последних условий из первых двух уравнений (10) получим

 

                                             (11)

Вводя обозначения: ; ; ;

 ;  .

Решение систем уравнений (11) можно записать в следующем виде (значения специальных функций приведены в табл.1):

,     .

Опорные реакции Ql и Ml на противоположном конце стержня определяются из условия ее равновесия,  т.е. Из первого уравнения получим , а из второго

Теперь предположим, что продольная сжимающая сила Р = 0. В этом случае все расчетные зависимости сильно упрощаются и принимают вид:

; ;  ;  ;    .

Выражения изгибающих моментов и поперечных сил из (10) также сильно упрощаются, учитывая, что при ® 0 и , а в этом случае ;  последние два выражения (10) принимают общеизвестный вид и записы­ваются следующим образом: ; .

                                                                                                                                            

Таблица 1

0,0

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,2

0,9986

1,0009

0,9992

0,9959

0,9973

0,9840

0,4

0,9945

1,0026

0,9973

0,9840

0,9893

0,9350

0,6

0,9881

1,0061

0,9941

0,9641

0,9758

0,8558

0,8

0,9787

1,0111

0,9895

0,9362

0,9565

0,7432

1,0

0,9662

1,0172

0,9832

0,8999

0,9313

0,5980

1,2

0,9511

1,0251

0,9756

0,8566

0,8998

0,4198

1,4

0,9329

1,0348

0,9669

0,8025

0,8613

0,2080

1,6

0,9116

1,0463

0,9567

0,7431

0,8152

-0,0381

1,8

0,8871

1,0600

0,9449

0,6749

0,7606

-0,3194

2,0

0,8590

1,0760

0,9313

0,5980

0,6961

-0,6372

2,2

0,8273

1,0946

0,9164

0,5131

0,6202

-0,9932

2,4

0,7915

1,1164

0,8998

0,4198

0,5304

-1,3896

2,6

0,7513

1,1417

0,8814

0,3181

0,4234

-1,8299

2,8

0,7064

1,1712

0,8613

0,2080

0,2944

-2,3189

3,0

0,6560

1,2057

0,8393

0,0983

0,1361

-2,8639

3,2

0,5997

1,2463

0,8153

-0,0380

-0,0635

-3,4769

3,4

0,5366

1,2940

0,7891

-0,1742

-0,3248

-4,1781

3,6

0,4656

1,3508

0,7609

-0,3191

-0,6862

-5,0062

3,8

0,3850

1,4191

0,7297

-0,4736

-1,2303

-7,0436

4,0

0,2933

1,5018

0,6961

-0,6372

-2,1717

-7,5060

4,2

0,1877

1,6036

0,6597

-0,8103

-4,3156

-10,1956

4,4

0,0648

1,7310

0,6202

-0,9931

-15,3271

-21,7815

4,5

-0,0050

1,8070

0,5990

-1,0880

227,9292

222,1820

4,6

-0,0807

1,8933

0,5772

-1,1861

14,6693

7,6160

4,8

-0,2572

2,1056

0,5305

-1,3896

5,4023

-2,2777

5,0

-0,4772

2,3924

0,4793

-1,6040

3,3615

-4,9719

5,2

-0,7630

2,7961

0,4234

-1,8299

2,3986

-6,6147

5,4

-1,1563

3,3989

0,3621

-2,0679

1,7884

-7,9317

5,6

-1,7481

4,3794

0,2944

-2,3189

1,3266

-9,1268

5,8

-2,7777

6,2140

0,2195

-2,5838

0,9302

-10,2831

6,0

-5,1589

10,7270

0,1361

-2,8639

0,5551

-11,4449

6,2

-18,5940

37,3080

0,0424

-3,1609

0,1700

-12,6433

                                                                                                          

Таблица 2

Вид смещения и эпюра М

M0

Ml

Q0 = Ql




















0







0



Аналитические выражения специальных функций:

;     ;    ;

;           ;               .

               

Следовательно, при  0 и эпюры внутренних силовых фак­торов существенно трансформируются. Характер трансформации эпюры Mx при  0 изображен на рис.65.10.

Результаты аналогичных примеров расчета, т.е. выражения из­гибающих моментов и поперечных сил, возникающих в концевых сечениях стержней с различными граничными условиями их за­крепления от соответствующих единичных перемещений, приведе­ны в табл.2.

Численные значения специальных функций  (r = 1,2,3,4,7,8), входящих в выражение изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в концевых сечениях стержней, приведены в табли­це 1.

 

Рис.65.10


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет