Лекции

 

 

Главная

 

14.4. Свободные колебания системы с произвольным
числом степеней свободы

 

Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесо­мую балку, изображенную на рис.14.3 и с n сосредоточенными мас­сами m1, m2, m3,..., mn. Пренебрегаем продольными деформация­ми оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс yi (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызван­ными упругими деформациями балки в поперечном направлении.

Рис.14.3

               

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы , (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы yi (t) записывается в виде суммы:

,                                                                                                                   (14.11)

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (14.11), получим:

, (i = 1,2,3,...,n).                                                                                                     (14.12)

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде:

.                                                                                              (14.13)

Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствую­щее r-ой форме колебаний:

.                                                                                                                     (14.14)

Подставляя (14.14) в (14.12) получим:

,                                                                                                 (14.15)

которое распадается на две группы уравнений:

                                                                                                                    (14.16)

и

                                              (14.17)

Решение уравнения (14.16) записывается в виде:

,    (r = 1,2,3,...,n).                                                                    (14.18)

Как видно из (14.18), по произвольной форме r = 1,2,3,...,n коле­бания происходят по гармоническому закону с частотой . Здесь   - частота собственных колебаний заданной системы, соответст­вующая r-ой форме.

Согласно (14.14) - является перемещением i-ой массы при r-ой форме колебания, значения которой определяется из решения системы алгебраических уравнений (14.17).

Система (14.17) относительно  (i = 1,2,3,...,n) имеет различ­ные решения. Очевидно, решение º 0 свидетельствует об отсут­ствии движения системы, т.е. состояние покоя системы, которое нас не интересует.

Система (14.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

,                                                            (14.19)

где принято обозначение .

Раскрывая определитель (14.19), получаем уравнения n-ой степени относительно , а при его решении получим n значений  . Каждому значению  (r = 1,2,3,...,n) будет соответствовать своя собственная частота:

,

и свой собственный вектор:

.

При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой:

, (r,k = 1,2,3,...,n;    r ¹ k).                                                                    (14.20)

Величины  непосредственно из решения (14.17) определить нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены от­ношения между . Принимая обозначения  система (14.17) преобразуется в вид:

Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как име­ем n уравнений относительно (n-1) неизвестных . Отбрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему определяют все неизвестные .

Далее, полагая , по формуле  определяются все остальные амплитуды перемещений масс при r-ой произволь­ной форме колебаний.

Возвращаясь к выражению (14.13) с учетом (14.18) можем запи­сать:

                                                                            (14.21)

Учитывая, что , Ar и Br являются произвольными постоян­ными, решение (14.21) можно записать в более удобной форме:

  и  можно выразить через начальные условия каждой массы при t = 0, которыми являются перемещения i-ой массы  и ее скорости , и следовательно, задача о свободных колеба­ниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.

 

14.5. Вынужденные колебания систем с произвольным числом

степеней свободы при действии вибрационной нагрузки

 

Рассматриваем установившиеся вынужденные колебания системы (рис.14.4) без учета внешнего или внутреннего сопротив­ления. Будем считать, что внешнюю нагрузку можно разложить по направлениям перемещений сосредоточенных масс, а составляю­щие ее обозначим , (i = 1,2,3,...,n).

Рис.14.4

 

Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины:

.                                                                                                             (14.22)

Канонические уравнения метода сил в данном случае записы­ваются в виде:

  (r = 1,2,3,...,n).                                                                                           (14.23)

Подставляя (14.22) в (14.23) и после ряда преобразова­ний, получим:

 (i = 1,2,3,...,n).                                                         (14.24)

Здесь - амплитудное значение перемещения i-ой массы, вызванное действием системы внешних сил .

Частное решение системы уравнений (14.24) записывается в виде:

,                                                                                                                     (14.25)

где - амплитуда перемещения i-ой массы;  - частота вынуж­денных колебаний системы.

Выражение для определения инерционных сил принимает вид:

Zi (t) = ,                                                         (14.26)

где - амплитудные величины инерционных сил.

Принимая обозначение

                                                                                                                         (14.27)

и с учетом (14.26) систему уравнений можно преобразовать к сле­дующему виду:

                                                               (14.28)

решение которого записывается в виде:

.                                                                                                                             (14.29)

Здесь D и Di - соответственно, определитель системы (14.28) и определитель, полученный из D заменой элементов  (k = 1,2,..., n) соответствующими свободными членами  (i = 1,2,..., n), т.е.

;

.                                                 (14.30)

Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (14.19), и поэтому при , т.е. при стремлении зна­чения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных ко­лебаний заданной системы, получим , следовательно  и соответственно, и согласно (14.26) , т.е. будет иметь место резонанс.

График зависимости  от частоты имеет вид, приведенный на рис.14.5.

Рис.14.5

 

Однако увеличение амплитуды  колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды , в частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности при  происходит значительное увеличение , при этом оставаясь конечной величи­ной.

После определения  из (14.29) с учетом (14.22) следует опре­делить амплитудное значение внешних сил:

, (i = 1, 2,..., n),                                                                                         (14.31)

и по значениям  (i = 1, 2,..., n) определить амплитудное значе­ние внутренних усилий.

Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил Ri (t) для статически неопределимых систем можно записать в виде:

,

где Mik (k,i = 1,2,..., n- значение момента в i-ом сечении при действии единичной силы  в точке k

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

00:00:00

 

Top.Mail.Ru