Главная
14.7.
Поперечные колебания балки с распределенными параметрами
Рис.14.13
Рассмотрим свободные колебания балки с постоянным поперечным сечением площадью F, плотностью r материала конструкции, без учета диссипативных свойств системы (рис.14,13, а).
Дифференциальное уравнение колебания системы с учетом следующего дифференциального соотношения теории изгиба имеет вид:
. (14.48)
Здесь 
- распределенная
инерционная нагрузка, которая возникает при движении балки:
,
(14.49)
где
- распределенная масса балки.
Совместно рассматривая соотношения (14.48) и (14.49), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний балки без учета диссипативных свойств системы:
. (14.50)
Если учесть затухания колебания по Фойгту в вынужденном режиме при действии внешней нагрузки P(z,t) на балку, дифференциальное уравнение (14.50) преобразуется в виде:
, (14.51)
т.е. для исследования вынужденного движения балки необходимо рассмотреть решение уравнения (14.51), при заданных граничных условиях закрепления балки и начальных условиях задачи.
Рассмотрим решение задачи в свободном режиме колебания.
Для решения задачи применим метод разделения переменных, т.е.:
.
(14.52)
Подставляя решение (14.52) в уравнение (14.50) и, принимая обозначения
, (14.53)
получим:
(14.54)
Решение последнего уравнения запишем в общем виде:
. (14.55)
Произвольные постоянные Ci (i = 1,2,3,4) должны быть определены из граничных условий закрепления балки.
Предположим,
что рассматриваемая балка закреплена в обоих концах шарнирно. Тогда на каждой
опоре прогиб y и изгибающий момент 
обращаются в нуль,
следовательно, учитывая решение (14.55), имеем:
.
Из первых двух условий вытекает, что C2 = C4 = 0. Из двух других получим:
Приравниваем нулю определитель этой системы:
,
откуда
имеем 
.
Но так как, гиперболический синус обращается
в нуль только при 
= 0, то остается 
= 0 или 
(i = 1,2,...),
или согласно (14.53) выражение частоты собственных колебаний принимает вид:
.
(14.56)
В зависимости от значения i = 1,2,... по формуле (14.56) определяется спектр частот собственных колебаний соответствующий собственным формам, показанным на рис.14.13, б, в, г. Упругая линия балки, учитывая, что C2 = C3 = C4 = 0, при i-ой форме колебаний имеет вид:
.
Окончательная формула по определению прогиба балки, согласно (14.52), записывается в виде:
,
здесь C1- определяется из начальных условий задачи, в зависимости от способа возбуждения колебаний балки.
14.8. Определение
основной частоты собственных
колебаний
консольной балки
Рис.14.14
Требуется определить основную частоту собственных колебаний консольной балки с постоянным поперечным сечением (рис.14.14).
Для определения функции Z в данном случае имеем следующие граничные условия:
откуда получим:
(14.57)
Подставляя выражение (14.55) в граничные условия (14.57), будем иметь:
;
;
.
Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:
отсюда
имеем 
.
Наименьший корень этого трансцендентного
уравнения принимает значение: 
.
Учитывая соотношение (14.53), находим частоту основного (наименьшего) тона колебаний:
.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Теоретическая механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов
