Лекции

 

 

Главная

 

Часть 17. Основы теории пластичности и ползучести

 

17.1. Основы деформационной теории пластичности

 

Для изучения работы конструкций за пределами упругости не­обходимо предварительно сформулировать критерии перехода от упругого к упруго-пластическому состоянию и сформулиро­вать новые физические уравнения взамен закона Гука, который как известно, справедлив только для описания связи между напряже­ниями и деформациями только упругой стадии работы конструк­ции.

Для сложного напряженного состояния имеем линейные соот­ношения обобщенного закона Гука:

Условия перехода из упругого состояния в упруго-пластические могут быть определены по формулам одной из гипотез пре­дельного состояния.

Для выполнении практических расчетов наибольшее распростра­нение нашла гипотеза энергии формоизменения, согласно которому переход из упругого состояния в пластическое происхо­дит когда интенсивность напряжений  , достигает пре­дела текучести, т.е.:

где  - интенсивность напряжений определяется через компо­ненты тензора напряжений:

или через главные напряжения

Для упругого состояния как известно взамен (17.1) справедливо и следующее обобщенное соотношение:

где Е - является модулем упругости материалов и определяется из диаграммы  при одноосных испытаниях материалов (рис.17.1), как , а  - интенсивность деформаций:

Рис.17.1

 

Соотношение (17.3) можно трактовать как одну из форм выра­жения закона Гука.

Анализ многочисленных экспери­ментальных данных показывают, что в упруго-пластическом состоянии связь между интенсивностью напряжений и деформацией можно записать в следу­ющем виде:

где  - является переменная вели­чина, и определяется из диаграммы  при одноосных испытаниях материалов (рис.17.1.). При этом  Таким образом, соотношение (17.4) устанавливает положение в том, что свойства материала не зависит от вида напряженного состояния. Это положение является исходным в деформацион­ной теории пластичности.

Вторым положением, на котором базируется деформационная теория пластичности, является условие, что изменение объема:

остается чисто упругим. Это положение также хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Далее учитывая, что е является величиной порядка упругих уд­линений, то можно исходить из того, что при пластическом дефор­мировании объем меняется незначительно. Поэтому в пластиче­ском состоянии коэффициент Пуассона допускается принимать равным .

Из выражения (17.4) для модуля деформации можно представить в следующем виде:

Согласно первому положению деформационной теории плас­тичности зависимость между напряжениями и деформациями при одноосном сжатии и растяжении едины для всех видов напря­женных состояний. Поэтому, диаграмма между  и  идентична диаграмме  и . Следовательно (17.5) можно представить в виде:

Аналог модуля сдвига  определяется:

Физические соотношения между напряжениями и деформация­ми, аналогично (17.1), для пластичного состояния тела принимает вид:

Приведенные физические соотношения являются приближен­ными и считаются справедливыми только для тех видов нагруже­ния, при которых внешние силы в процессе нагружения возрастают прямо пропорционально по времени.

В этом случае, главные оси напряженного состояния при изме­нении внешних сил сохраняют свое направление, т.е. соотношение (17.7) справедливо только при простом нагружении.

 

17.2. Упруго-пластический расчет стержня при

действии продольной силы

 

Рис.17.2

               

Определить перемещение сечения А ступенчатого стержня изо­браженного на рис.17.2, а при различных стадиях его деформиро­вания при нагруже­нии его силой Р. Диа­грамма деформирова­ния изображена на рис.17.2, б.

Решение:

В данном случае все составляющие тензо­ра напряжений и де­формаций за исклю­чением sх и eх тож­дественно равны ну­лю. При этом участок АС испытывает растяжения, а участок АВ - сжатие.

Следует выделить следующие этапы работы конструкций.

На первом этапе, участки АС и АВ деформируются в упругой стадии, т.е.:

 при

На втором этапе, один из участков АВ или АС переходит в упруго-пластическую стадию деформирования. И, наконец, когда оба участка АВ и АС деформируются в упруго-пластической стадии.

Связь между  и  в упруго-пластической стадии деформи­рования согласно диаграмме  записывается в виде:

  при

На первом этапе нагружения, когда в обоих участках материал конструкции деформируется по закону Гука, учитывая, что система один раз статически неопределима усилия N обоих участков опре­деляется обычными приемами. Из условий равновесия имеем:

-N1 + N2 = P.                                                                                                                                   (17.10)

Учитывая, что стержни верхним и нижним концами жестко закреплены, его абсолютное удлинение должно быть равно нулю, т.е.:

откуда

В результате совместного рассмотрения (17.10) и (17.11) получим:

Перемещение сечения А будет следующим:

В упругой стадии работы конструкции значения напряжения на первом и втором участках соответственно принимают значения:

Так как  то соотношения (17.1217.14) будут справед­ливы до тех пор, пока напряжения на первом участке не достигнет значения .

Из выражения (17.14), принимая , определяем величину силы Р, при которой нижний участок с номером I переходит в пластичное состояние, а верхний участок с номером II остается уп­ругим:

Для второго этапа нагружения, необходимо преобразовать урав­нения совместности деформаций:

Выражение (17.9) представим в виде:

Тогда

Подставляя (17.18) в (17.16) получим:

Совместно решая (17.19) с уравнением равновесия (17.10) полу­чим:

Принимая в (17.20) Е = Е1, можно убедиться, что из (17.20) сле­дуют упругие решения (17.14).

Перемещая сечения А на данном этапе нагружения определяет­ся по формуле:

Переходим к решению поставленной задачи на третьем этапе нагружения. Принимая  из второго выражения (17.14) оп­ределим значения внешней силы при которой второй участок пере­ходит в пластическую стадию деформирования:

На третьем этапе нагружения, т.е.  абсолютное удли­нение второго участка определяется:

Подставляя (17.23) и (17.18) в (17.16) получим:

В результате совместного рассмотрения (17.24) и (17.10) определя­ется:

Принимая Е = Е1 из (17.25) получим решение задачи в упругой постановке, которая полностью согласуется выражением (17.12). Пе­ремещение сечения А на третьем этапе нагружения определяется по выражению:

Если в последнем варианте предположить Е = Е1, то отсюда следует решение в упругой постановке задачи, и полностью совпа­дающей с решением (17.13).

 

17.3. Упруго-пластический изгиб бруса

 

Рассмотрим упруго-пластический чистый изгиб бруса. Для про­стоты предполагается, что поперечное сечение бруса обладает дву­мя осями симметрии (рис.17.3, а) и что диаграмма деформирования материала при одноосном сжатии и растяжении одинаковы (рис.17.3, б). При принятых предположениях следует полагать, что нейтральная линия совпадает с осью симметрии x (рис.17.3, а)

Как и при упругом изгибе в данном случае будет исходить, что и при упруго-пластическом изгибе справедлива гипотеза плос­ких сечений, т.е.:

где  - кривизна нейтральной оси изогнутого бруса, а y - расстоя­ние точек от нейтральной оси.

Рис.17.3

               

Упруго-пластическая стадия деформирования поперечного се­чения бруса делится на две зона: упругую и пластическую. Вели­чина , определяющая расстояние границы этих зон от нейтраль­ной линии определяется по (17.26):

По мере увеличения изгибающего момента и соответственно кривизны, величина  уменьшается за счет сокращения высоты упругой зоны.

Выражение изгибающего момента в данном случае можно пре­образовать в следующем виде:

Так как из теории изгиба, для упругого участка, выполняется соотношение:

Подставляя последнее в (17.28) и после интегрирования полу­чим:

Учитывая, что , получим:

откуда

Из последнего выражения следует, что кривизна бруса с увели­чением момента Мx возрастает и обращается в бесконечность, при

В этом случае , следовательно, и как это следует из (17.27) . Следовательно, все сечение охватывается пластической де­формацией. Несущая способность сечения в данном случае исчер­пана. Из (17.29) можно определить:

Здесь  носит название пластического момента сопротив­ления сечения.

Обобщая выражения (17.29) с известным аналогичным соотно­шением теории изгиба , можно устано­вить, что при значениях момента  в попе­речном сечении балки возникает пластическая деформация, а значение  следует рассматривать как предельное значение момента, при котором несущая способность конструкций в данном сечении исчерпана.

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет