Лекции

 

 

Главная

 

17.4. Основы теории ползучести

 

В физических уравнениях теории упругости и теории пластич­ности введено допущение, что при действии внешних сил тело деформируется мгновенно. Однако, в действительности полная де­формация любой точки заданного тела при действии внешних сил, формируется в течении определенного промежутка времени. Далее известно, что все материалы обладают свойством старения, т.е. фи­зико-механические характеристики во времени меняются, поэтому учет временных процессов, протекающих в элементах конструкций в период действия внешних сил имеет важное значение в плане совершенствования методов их расчета.

Свойства материалов связанные с деформацией во времени при действии внешних постоянных нагрузок называются ползу­честью.

Явление ползучести в принципе присуще всем материалам. Учет фактора ползучести имеет существенное значение для пра­вильного работы конструкций при действии внешних сил.

Предположим, что в начальный момент времени деформации имеют значения e(0), равное упругой деформации или суммарной упругой и пластической деформацией (рис.17.4).

Рис.17.4

               

С увеличением времени t наблюдается возрастание деформа­ций. Если процесс сопровождается уменьшением скорости деформирова­ния  и при t®¥, ®0, то ползучесть называется установившейся (1) (рис.17.4) Если деформация ползучести имеет тен­денцию к беспредельному увеличению и в итоге сопровождается разрушением материалов конструкции, то данный вид ползучести называется неустановив­шейся (2) (рис.17.4).

Полная деформация в произволь­ный момент времени определяется как сумма начальной деформа­ции e(0) и деформации ползучести , т.е.

.                                                                                                                          (17.29)

Заметим, что характер протекания ползучести во времени очень чувствителен в зависимости об интенсивности напряжений и тем­пературы. Увеличение интенсивности напряжений или градиента температуры, как правило, приводит к возрастанию деформаций ползучести.

Если увеличение деформаций ползучести пропорционально увеличению напряжений, то имеем дело с линейной ползучестью, в противном случае - с нелинейной ползучестью.

Если в некоторый момент времени > 0 производить разгруз­ку, то накопленная деформация ползучести начинает уменьшаться, асимптотически стремясь к некоторому пределу  рис.17.5. Такое явление носит название обратной ползучести. В частном случае, при линейной ползучести деформация e¥ при полной разгрузке мо­жет стремиться к нулю, т.е. образец во времени полностью восста­навливает свои пер­воначальные разме­ры. Это свойство ма­териала называется последействием.

При ползучести предполагается неиз­менность величин напряжений и рас­сматриваются изменения деформаций во времени.

 

Рис.17.5                                                           Рис.17.6

 

Обратимся к другому случаю, характеризующему свойства мате­риалов и тесно связанному с ползучестью. Если имеется образец и обеспечить постоянство деформаций во времени в образце, как по­казывают эксперименты, то во времени происходит снижение на­пряжений (рис.17.6). Явления медленного уменьшения напряжений в образце при постоянной деформации называется релаксацией.

При линейной ползучести, если материал конструкции не обла­дает свойством старения, зависимость между напряжениями и де­формацией можно представить в следующем виде:

,                                                                                                                      (17.30)

где ; - определяет деформацию ползу­чести при единичном напряжении s = 1; .

Для функции справедливо равенство с(0) = 0.

Теория ползучести, учитывающая предысторию нагружения на­зывается наследственной теорией ползучести.

Связь между напряжением и деформациями по наследственной теорией ползучести записывается в виде:

.                                                                                        (17.31)

Функция  может иметь различные представления, в част­ности:

,                                                                                                             (17.32)

где g, k - постоянные коэффициенты, характеризующие свойства материалов.

Если учесть свойства старения материалов, т.е. свойства мате­риалов изменяющиеся во времени, но величина и упругие дефор­мации и деформации ползучести конструкций зависят от возраста материала. В этом случае физические уравнения можно предста­вить в следующем виде:

;   ,                                                                  (17.33)

где ; ; ; .

Здесь a, b, n, A, B, g - постоянные характеристики материалов конструкций.

В общем случае, когда переменными являются как напряжение так и деформация соотношения между ними с учетом свойства на­следственности и строения в рамках линейной теории записывается в виде:

.                                                                                  (17.34)

Здесь вводим обозначения:

.                                                                                                            (17.35)

Линейное соотношение между напряжениями и деформациями (17.34) отличается от закона Гука для упругого материала только тем, что вместо величины 1/E здесь имеется интегральный опе­ратор. Отсюда следует следующее простое правило построения решения задачи теории линейной ползучести, которое носит наз­вание принцип Вольтерра.

Решение задачи по теории линейной ползучести может быть получено из решения аналогичной задачи в упругой постановке, далее следует заменить упругие постоянные интегральные операто­ры и произвести необходимые операции над ними.

В частности, если в известных упругих решениях предполагать, что они записаны в изображениях Лапласа, т.е. заменить упругие постоянные изображениями соответствующих операторов теории ползучести и применить операции переходов от изобра­жений к оригиналам искомых функций, получим решение соот­ветствующее задаче с учетом ползучести материалов конструкции.

Отметим, что в настоящее время при решении многих инже­нерных задач, как в области механики твердого деформируемого тела, так и других отраслях, широко применяется метод интеграль­ного преобразования Лапласа. Этот метод особенно эффективен при решении линейных дифференциальных, интегро-дифференци­альных и интегральных уравнений, а также систем, состоящих из вышеуказанных типов уравнений. Суть его является следу­ющей.

Если имеется некая искомая функция y(t) от действительной переменной t, обозначая через y(s) образ искомой функции ком­плексной переменной s, т.е. изображение заданной функции по Лапласу, тогда формулы по определению оригинала и его изобра­жения имеют следующие представления:

   .

где i - мнимая единица, а c - некоторая постоянная, на действи­тельной оси.

Рис.17.7

 

В качестве примера реализации изложенного подхода при решении инженерных задач рассмотрим расчет прогиба свободного конца консольной балки (рис.17.7), в момент времени t = 0 загруженной равномерно рас­пределенной нагрузкой, постоянной во времени. Материал балки харак­теризуется линейной ползучестью, для которого

.

По методу начальных параметров в упругой постановке задачи решение записывается в виде:

.                                                                              (17.36)

Заменим на .

Тогда выражения перемещения (17.36) в изображениях Лапласа принимает вид:

.                                                                            (17.37)

Здесь К(s) определяется из (17.32):

.                                                                                                                    (17.38)

С учетом (17.38), (17.37) принимает вид:

.

Выполняя операции обратного преобразования Лапласа, получим:

.                                                                                                 (17.39)

Отсюда следует, что при действии постоянной нагрузки прогиб балки с течением времени возрастает по экспоненциальному зако­ну и при t®¥ принимает следующее предельное значение:

,

где  - упругое перемещение, т.е. перемещение балки в точке А при t = 0.

 

17.5. Расчет перемещения балки с учетом ползучести

 

Для металлической двухпролетной балки (рис.17.8, а), при сле­дующих исходных данных: q = 2 кН/м; Р = 10 кН; J = 20×10-4 м4; Е0 = 2×10кН/м2; а = 3 м; g = 2×10-2  1/cут; k = 1.3;  требуется опреде­лить перемещение за счет изгиба конструкции в сечениях А и С, предполагая материал конструкции упругим, далее - линейно пол­зучим.

Решение:

1. Определить перемещение в точках А и С за счет изгибаемых упругих деформаций конструкции

Рис.17.8

 

Учитывая, что заданная система один раз статически неопределима, решение за­дачи рассмотрим по методу сил.

Основная система изображена на рис.17.8, б. Эпюра моментов в ос­новной системе от заданной системы внешних сил и единичной вертикальной силы X = 1, прило­женной в месте и по направлению, отображенной связи показана на рис.17.8, вг.

Перемножая эпюры моментов изображенных на рис.17.8, вг по формуле Мора, последовательно определим верти­кальное перемещение т.В от дей­ствия силы X = 1 и от действия системы внешних сил:

;

.

Опорная реакция в точке В принимает значение:

 кН.

Далее вычисляются опорные реакции в заделке:

кНм;

 , откуда

кН.

Проверяем правильность вычисления величины опорных реак­ций:

   

По методу начальных параметров последовательно определим величины упругих перемещений в точке А и С:

м;

м.

2. Определить перемещение в точках А и С с учетом ползучести материала конструкции

Запишем выражения упругого перемещения:

;   .

По аналогу этих формул, запишем выражения перемещений с учетом ползучести материала балки в изображениях Лапласа:

;

.                                                     (17.40)

Применяя изображения Лапласа запишем выражение функции  в изображениях в виде (17.38):

Подставляя (17.38) в (17.40) получим:

;    .

Переходя к оригиналам окончательно получим:

                                          

В условиях установившейся ползучести, при  из последних выра­жений вычисляются результирующие перемещения:

м;

м.

Как показывают численные расчеты за счет неограниченной ползучести перемещение заданной системы возросло в 2,3 раза:

;   .


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет