Расчет конструкций по методу предельного равновесия

 

 

Главная

83. Расчет конструкций по методу предельного равновесия

 

Содержание

Основные положения метода предельного равновесия

Основы теории пластичности

Определение предельного состояния системы при растяжении-сжатии

Предельное состояние статически определимых систем при кручении

Предельное состояние статически определимых систем при изгибе

Расчет статически неопределимых балок по предель­ному состоянию.

Кинематический и статический способ

Вопросы для самопроверки

 

Основным методом расчета конструкций промышленных и гражданских зданий и сооружений, мостов и др. в настоящее время является метод предельных состояний. Этот метод был разработан учеными под руководством проф. Н.С. Стрелецкого и начал применяться с 1955 г.

Предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания и сооружения.

Различают две группы предельных состояний: первая – непригодность к эксплуатации по причинам потери несущей способности; вторая – непригодность к нормальной эксплуатации в соответствии с предусмотренными технологическими или бытовыми условиями. В правильно запроектированном сооружении не должно возникнуть ни одно из указанных предельных состояний, т.е. должна быть обеспечена его надежность. Надежностью  называется способность объекта сохранять в процессе эксплуатации качество, заложенное при проектировании.

Факторы, от точного учета которых зависит уровень надежности сооружения или отдельного его элемента, следующие: нагрузки и другие воздействия, механические свойства материала, геометрические параметры конструктивных элементов, условия работы, степень ответственности сооружения и др.

Нормативное значение нагрузки и воздействий соответствует их значению при нормальной эксплуатации. Они устанавливаются Строительными нормами и правилами (СНиП). Возможное отклонение значений нагрузок от их нормативных значений учитывается коэффициентом надежности по нагрузке n1, принимаемым по СНиПу.

Нагрузки и воздействия, полученные путем умножения их нормативных значений на коэффициент надежности по нагрузке, называются расчетными. Например, расчетная сила P=nPн.

При расчете по первой группе предельных состояний обычно n>1, и тогда расчетные нагрузки являются наибольшими нагрузками, которые могут возникнуть за время эксплуатации сооружения.

Но коэффициент надежности по нагрузке может быть меньше единицы, т.е. n<1, если это приводит к ухудшению условий работы сооружения. Например, кратковременные нагрузки в стадии возведения принимаются с коэффициентом n=0,8.

Коэффициент надежности по нагрузке при расчете по второй группе предельных состояний принимается, как правило, равным единице.

Основной характеристикой сопротивления материалов силовым воздействиям является нормативное сопротивление Rн, которое устанавливается СНиПом с учетом условий контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. В качестве нормативного сопротивления строительных сталей принимают наименьшее контролируемое (браковочное) значение предела текучести σT или временного сопротивления σв. Эти значения устанавливаются ГОСТами или техническими условиями на металл.

Возможное отклонение в неблагоприятную сторону от значений нормативного сопротивления учитывается коэффициентом надежности по материалу γм>1. Этот коэффициент отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от свойств отдельно испытанных образцов. Например, для металла γм =1,025…1,15; для бетона γм =1,3…1,5.

Величина, полученная в результате деления нормативного сопротивления на коэффициент надежности по материалу, называется расчетным сопротивлением:

Она представляет собой наименьшую возможную величину нормативного сопротивления; значения для R устанавливаются СНиПом.

Особенности действительной работы материалов, элементов конструкций, их соединений учитываются коэффициентом условий работы γ. Он отражает влияние температуры, агрессивности среды, длительности и многократной повторяемости воздействия, приближенности расчетных схем и условность расчетных предпосылок (γ<1), а также перераспределение усилий при развитии пластических деформаций и другие благоприятные факторы (γ>1). Числовые значения для  устанавливаются СНиПом на основании экспериментальных и теоретических исследований и вводятся в качестве множителя к значению расчетного сопротивления R. В большинстве случаев при нормальных условиях работы коэффициент γ=1 и может быть опущен.

Степень ответственности и капитальности сооружений, а также значимость последствий тех или иных предельных состояний учитывается коэффициентом надежности по назначению γн≤1. Его вводят в качестве делителя к значению расчетного сопротивления или в качестве множителя к значению расчетных нагрузок, воздействий и усилий.

Существуют и другие коэффициенты, которые учитывают особенности расчета и работы сооружения, например коэффициент nc, учитывающий одновременное действие всех расчетных нагрузок. Здесь же приведены коэффициенты, учитывающие основные факторы, которые влияют на надежность сооружения.

Надежность и гарантия от возникновения предельных состояний первой группы (по несущей способности) обеспечиваются выполнением следующего условия:

где N - усилие, действующее в рассчитываемом элементе конструкции (функция нагрузок и других воздействий); S - предельное усилие, которое может воспринять рассчитываемый элемент (функция физико-механических свойств материала, размеров элемента и условий работы).

Усилие N, являющееся наибольшим возможным усилием (воздействием) за время нормальной эксплуатации конструкции, определяется так:

а предельное усилие

где  - геометрическая характеристика сечения.

Таким образом, условие прочности (надежности) для центрально растянутого (сжатого) элемента () будет иметь вид

 

 

83.1. Основные положения метода предельного равновесия

 

Расчет конструкций в упругой постановке задачи, как известно, проводится по методу допускаемых напряжений. Данный подход при расчете статически определимых и статически неопределимых систем не позволяет найти их истинный запас прочности, так как исчерпание несущей способности конструкции сопровождается появлением в ней пластических деформаций. Для выявления истинного запаса несущей способности конструкции необходимо проводить расчет с учетом упруго-пластических деформаций. Однако сложность аппарата теории пластичности не позволяет решать широкий круг очень важных инженерных задач. В этом отношении расчет конструкций по методу предельного равновесия, поз­воляет дополнить существующий пробел по данному вопросу. Поэтому, метод расчета конструкций по предельным состояниям, по сравнению с упругим расчетом, является важным этапом для оцен­ки истинных запасов прочности конструкции. При этом следует отметить, что расчет конструкций по методу предельных состояний является приближенным в том контексте, что, в отличии от упруго-пластического расчета, не позволяет описать процесс перехода от упругого к предельному состоянию.

Если при проектировании инженерных сооружений необходимо знать процесс формирования напряженно-деформированного состояния вплоть до исчерпания несущей способности конструкций, метод предельного равновесия неприменим. Однако, в тех случаях, когда необходимо определить только несущую способность конструкции этот метод является очень эффективным и имеет важное практическое значение.

При расчете конструкций по допускаемым напряжениям в упругой постановке задачи, как известно, предельной нагрузкой считается та, при которой наибольшее напряжение , хотя бы в одной точке опасного сечения достигает величины . При этом вводится понятие о допускаемом напряжении, определяемом по формуле , где n - коэффициент запаса.

При расчете конструкций по методу предельного равновесия предполагается двухстадийный характер деформирования материала: в первой стадии материал подчиняется закону Гука, пока напряжения не достигнут предела текучести; а затем во второй стадии, предполагая, что в нем в определенной стадии нагружения в опасных сечениях беспредельно развиваются пластические деформации при постоянном напряжении. С появлением пластических деформаций нарушается линейная зависимость между напряжениями и деформациями по закону Гука, и все расчетные формулы, вывод которых основан на этой зависимости, становятся неприменимыми. Нарушается прямая пропорциональность между действующими на элемент конструкции нагрузками и возникающими в нем напряжениями и деформациями. Становится неприменимым один из основных принципов сопротивления материалов – принцип независимости действия сил.  

Так как зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной и для каждого материала определяется видом диаграммы растяжения, единых для различных материалов расчетных формул, учитывающих пластические деформации, получить невозможно. При выводе расчетных формул диаграммы растяжения упрощают (схематизируют). Для материалов, имеющих площадку текучести, например для низкоуглеродистых сталей условная диаграмма зависимости на­пряжения от деформации состоит из наклонного и горизонтального участков и носит название диагpам­мы идеально yпpyго-плаcтичеcкого тела, или диагpаммы Пpандтля.

Суть метода состоит в том, что конструкция рассматривается в момент, непосредственно предшествующий ее разрушению, когда еще выполняются условия равновесия для внутренних и внешних сил, достигающих предельных значений. Отсюда и произошло наз­вание метода предельного равновесия.

Реальные конструкции представляют собой в большинстве случаев многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности. Благодаря этому конструкции обладают дополнительными резервами несущей способнос­ти. После того, как в наиболее опасных сечениях напряжения достигают предела текучести, в отличие от статически определимых систем, статически неопределимые системы могут нести дополнительные нагрузки за счет перераспределения внутренних сил.

Для пластичного материала предельным обычно считается, напряженное состояние, которое соответствует возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала.

Для выполнения расчетов на прочность по методу предельного равновесия вводятся понятия коэффициента запаса прочности и эффективное напряжение.

Коэффициент запаса при данном напряженном состоянии это число, показывающее во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты тензора напряжений, чтобы оно стало предельным.

Эквивалентное напряжение  - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным.

Для пластичных материалов критерием наступления предельного состояния принимается состояние, при котором максимальные касательные напряжения достигают некоторого предельного значения:

Гипотеза максимальных касательных напряжений, приемлемая для пластичных материалов, обнаруживает заметные погрешности для материалов, имеющих различные механические характеристики при сжатии и растяжении.

В таких случаях применяется энергетическая гипотеза, согласно которой предельное состояние в точке наступает тогда, когда энергия формоизменения

принимает некоторое заранее заданное значение. Это предельное значение для  определяется следующим образом. Для простого растяжения выражение (83.2) принимает вид:

В сложном напряженном состоянии  принимает значение

При совместном рассмотрении (83.2) и (83.3) получим:

Следует помнить, что расчет по методу предельного равновесия можно выполнять только для элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов, допускающих пластические деформации в наиболее напряженных точках без появления в них трещин. Недопустимо появление пластических деформаций в деталях машин, длительно работающих при переменных, циклических напряжениях, так как при этом резко снижается число циклов до разрушения, т.е. долговечность детали. 

 

 

83.2. Основы теории пластичности

 

Рассмотрим основ­ные особенности характера деформирования материалов при их нагружении в упруго-пластической стадии. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластичностью.

Физические соотношения, взятые в основу теории, позволяющие определить переход напряженно-деформированного состояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать процесс деформирования тела с учетом пластических свойств материалов, называются теорией пластичности.

Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конструкций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на ре­альной диаграмме, для многих материалов в 30 - 40 раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотношений.

В деформационной теории пластичности, разработанной А.А.Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

Во второй теории - теории течения, физические соотношения связывают напряжения с приращениями деформаций или скоростями деформаций.

Как показывают экспериментальные исследования, деформационная теория пластичности справедлива при относительно небольших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. когда все внешние нагрузки изменяются пропорционально во време­ни.

Теория течения является эффективным при изучении процессов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга.

Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия - упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука. Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической стадии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависимости во второй стадии деформирования.

Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез метода предельного равновесия.

Как это было изложено в пункте «Основные положения метода предельного равновесия», наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряжений и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения яв­ляется наиболее приемлемой, согласно которой переход из упруго­го состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала  при одноосном напряженном состоянии, т.е.

С учетом физических соотношений закона Гука выражение (83.4) принимает вид:

где принято обозначение:

называемое интенсивностью деформаций.

Следовательно, соотношение (83.6), следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

Выражения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

В основу деформационной теории пластичности заложены сле­дующие гипотезы.

Рис. 83.1

 

Первая гипотеза устанавливает связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (рис. 20.1), и гла­сит, что она не зависит от вида напряженного состояния, т.е.

где  - является переменной величиной и зависит от значения . Соотношение (83.9) является единым для всех видов напряженного состояния.

Согласно второй гипотезе - изменение объема  является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных плас­тических деформаций не обнаруживается.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объ­емная деформация e является величиной порядка упругих удлинений, поэтому принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого положения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформирования материал считается несжимаемым.

Откуда следует, что в пластической стадии деформирования можно коэффициент Пуас­сона принимать равным μ = 0,5.

Сначала определим физические соотношения при одноосном растяжении, когда

Из (83.4) и (83.7), соответственно получим  и , что подтверждает первое положение теории, что аналитическое выражение (83.9) едино для всех видов напряженного состояния. Данное обстоятельство позволяет определить переменный модуль деформирования  по диаграмме , т.е. .

В заключение, запишем физические соотношения между напряжениями и деформа­циями при пластической стадии деформирования тела:

где  является модулем деформации при сдвиге, кото­рый определяется следующим образом:

Приведенные физические соотношения деформационной теории пластичности являются справедливыми при простых нагружениях, т.е. только в тех случаях, когда все внешние силы на всех этапах нагружения во времени изменяются пропорционально. В данном случае заметим, что главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление незави­симо от стадии деформирования.

Для наглядности ниже рассмотрим наиболее представительные примеры расчета конструкций по методу предельного равновесия.

 

 

83.3. Определение предельного состояния системы при растяжении-сжатии

 

Для статически определимой системы, в элементах которой возникают лишь продольные усилия, расчеты на прочность по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам дают один и тот же результат. Результаты аналогичных расчетов статически неопределимой системы различны.

Пример 1.

Рассмотрим систему, представляющую собой абсолютно жесткую балку, с одним концом шарнирно опертую, и подвешенную на трех одинаковых идеально упруго-пластических подвесках, длиной l, площадью поперечного сечения А, модулем упругости материала Е, при заданной схеме нагружения силой Р (рис.83.2, а). Заданная система дважды статически неопределима.

Решение.

По мере роста силы P, подвески 1, 2, 3 поэтапно будут переходить в пластическое состояние, причем напряжения в каждой подвеске не могут превышать .

Выделим следующие стадии деформирования заданной системы.

Первая стадия: все подвески работают упруго. Для определения реакций в подвесках составляем уравнение равновесия:

Рис. 83.2

 

Для определения величин усилий в подвесках N1, N2 и N3 необходимо составить еще два уравнения совместности. Учитывая, что балка абсолютно жесткая и деформации в подвесках пропор­циональны возникающим в них усилиям, то из условия подобия треугольников (рис.83.2, б), имеем:

откуда

Тогда из (83.12) с учетом (83.13) определяются реакции во всех подвесках:

Вторая стадия: при некотором значении P, сначала наиболее нагруженная первая подвеска, переходит в пластическое состояние, то есть  (рис.83.2, в). При этом из (83.13) можно установить, что в остальных подвесках усилия будут равны:

Подставляя значения усилий в уравнение равновесия (83.12), получим:

откуда и определим величину внешней силы Р, при котором систе­ма переходит во второе состояние:

Третья стадия: при дальнейшем росте значения силы P, и вторая подвеска переходит в пластическое состояние, то есть  (рис.83.2, г). При этом, из второго и третьего соотношения (83.14), значение усилия в третьей подвеске будет равно:

Из уравнения равновесия (83.12), с учетом значения усилий в подвесках в третьем состоянии, получим:

Четвертая стадия - предельное состояние: в этом состоянии усилия во всех трех подвесках равны своему предель­ному значению, т.е.  (рис.83.2, д). Уравнение равновесия (83.12), при этом принимает вид:

откуда и определяется предельная величина внешней силы:

Далее определим перемещение fi балки в точке приложения внешней силы P в различных стадиях работы заданной системы.

При переходе заданной системы от первого стадии деформирования ко второму, имеем:

При переходе заданной системы от второй стадии к третьей, имеем:

И наконец, при переходе системы от третьей стадии к предельному состоянию, получим:

Рис. 83.3

               

Зависимость f от P показана на рис. 83.3. Она изображается ло­маной линией, которая после предельного равновесного состояния становится горизонтальной, то есть после того, как напряжения достигнут предела текучести во всех трех подвесках. Откуда следует, что при постоянной , перемещение f  беспредельно возрастает, т.е. происходит разрушение системы.

Как видно из приведенного примера, расчет даже для такой простой системы оказывается довольно громоздким, хотя он дает возможность находить не только предельную силу, но и описать поведение конструкции в процессе ее нагружения. На практике, при расчете систем с учетом пластических деформаций рассматривают только предельное состояние.

 

Пример 2.

Для трехстержневой системы (рис. 83.4, а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис. 83.4, б), при следующих исходных данных: α = 30°; l = 1,0 м; А = 210-4 м2 - площади поперечных сечений стержней; E = 2108 кН/м2 - модуль упругости материалов стержней; = 2,5105кН/м2 - предел упругости материала;  = 3,9105 кН/м2 - временное сопротивление;  = 0,02  - значение деформации, соответствующее напряжению   требуется:

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости.

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования.

3. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P3, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разрушение заданной системы.

4. Рассматривая систему (рис. 83.4, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и отно­сительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P4, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению .

Решение.

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис.83.4, а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис.83.4, б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

Рис. 83.4

 

Согласно деформированной схеме, изображенной на рис.83.4, а, из геометрических соображений, уравнения для определения относительных деформаций записываются в виде:

С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е. , получим:

С учетом (83.23) из (83.21) и (83.22) можно получить следу­ющую замкнутую систему уравнений относительно усилий N1 и N2:

Откуда определяются:

Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

Откуда следует, что . Следовательно, в процессе нагружения сначала средний стержень переходит в пластическую стадию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех нагружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения заданной системы, будет наиболее напряженным.

Принимая в (83.25), что  и P = P1, окончательно получим:

Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

Относительные удлинения стержней принимают значения:

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Физические уравнения взамен закона Гука в случае, когда стержни переходят в пластическую стадию деформирования, т.е. при , , в данном случае записываются в виде:

которое представляет собой уравнение прямой линии, описывающей диаграмму деформирования в области пластических дефор­маций (рис.83.4, в).

В начале по очевидным соотношениям определяется значение деформаций , соответствующее началу пластической стадии де­формирования стержней и модуля деформаций в пластической стадии их деформирования:

Заметим, что на данном этапе нагружения, т.е. когда , боковые элементы заданной системы деформируются упруго, а средний элемент - будет находиться в пластическом состоянии.

Учитывая, что при P = P2 будем иметь , , последовательно определим значения усилий и абсолютное удлинение в боковых стержнях при их переходе в пластическую стадию деформирования:

Учитывая выражения (83.22) и (83.26) определяется значение абсолютного и относительного удлинения, а также усилия в среднем стержне, в момент перехода боковых стержней в пластическую стадию их деформирования:

Далее из уравнения равновесия (83.21) вычисляется величина внешней силы P = P2:

3. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P3, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разрушение заданной системы. Сначала вычисляем значения удлине­ний в боковых стержнях, при достижении в среднем стержне предельных напряжений и деформаций , .

Учитывая, что  получим:

Таким образом, к моменту разрушения среднего стержня (, ) боковые стержни также находятся в пластической стадии деформирования. Напряжения в боковых стержнях, в мо­мент разрушения среднего стержня, принимают значения:

Для определения величины внешней силы P = P3, т.е. значения силы в момент разрушения среднего стержня из уравнения равновесия (83.21) имеем:

Как показывают результаты расчетов, для перехода среднего стержня в пластическую стадию деформирования необходима была внешняя сила P = P= 119,5 кН, а для его разрушения - P = P= 200,97 кН.

На основании полученных результатов можно заметить, что если бы мы ограничивались только учетом упругой стадии работы конструкции, т.е. P £ P1, то несущая способность заданной систе­мы оценивалась бы как P = P= 119,5 кН.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позволил выявить дополнительные резервы несущей способности задан­ной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P = P= 200,97 кН.

В заключении определим величины абсолютных удлинений стержней в момент разрушения среднего стержня:

Легко определить во сколько раз абсолютные удлинения стержней возросли за счет возникновения пластических деформаций по отношению к их абсолютным удлинениям в момент перехода среднего стержня от упругой к пластической стадии деформирования:

4. Рассматривая систему (рис.83.4, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P4, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению . Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически определимую. Применяя метод сечений, легко установить, что уравнения равновесия в данном случае принимают следующий вид:

В конце упругой стадии работы элементов заданной системы имеем, что , . С учетом данного обстоятельства последовательно определим значение усилия N1, абсолютное удли­нение стержней и величину силы P = P1, соответствующих концу упругой стадии работы данной системы:

При дальнейшем нагружении системы, то есть при P > P= 86,6 кН, элементы данной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Последовательно определим значение внутренних усилий, абсолютных удлинений и величину разруша­ющей силы P = P2, при достижении напряжений и деформаций предельных значений. Т.е. при , :

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы.

Как и для трехстержневой статически неопределимой системы, так и для двухстержневой статически определимой системы, учет пластических деформаций позволил выявить дополнительные резервы систем по несущей способности. Если бы мы ограничились только упругим расчетом, расчетная несущая способность двухстержневой системы была бы равна P = P= 86,6 кН. А за счет учета упруго-пластической работы элементов системы, как было показано, несущая способность будет исчерпана при P = P= = 135,1 кН, т.е. при нагрузке в 1,56 раза больше, чем при упругом расчете.

Далее заметим, что за счет удаления одного среднего элемента из исходной системы, несущая способность и жесткость системы, соответственно, уменьшилась в 200,96/135=1,49 и в

 

Пример 3.

Определить предельную нагрузку Fu для стержневой системы, показанной на рис.83.5. Предел текучести материала стержней принять = 2900 кг/см2.