Лекции

 

 

Главная

 

9.8. Треугольный линейный конечный элемент: система координат и интерполяция.

 

9.8.1. Введение

 

В данной лекции будут рассмотрены особенности формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (СЛАУ МКЭ) на примере трехузлового треугольного элемента с линейной интерполяцией перемещений, применяемого для решения плоской задачи теории упругости. Для краткости будем называть такой элемент линейным треугольным конечным элементом.

Этот элемент имеет ряд отличительных особенностей:

Он принадлежит к семейству так называемых изопараметрических элементов, о чем будет говориться в следующих лекциях;

Он позволяет получить выражения элементных матриц жесткости и элементных векторов сил в замкнутой форме, что означает отсутствие необходимости в численном интегрировании при вычислении элементных матриц жесткости и элементных векторов сил;

Точность решения, обеспечиваемая данным элементом, не может быть повышена путем добавления внутренних степеней свободы.

В дополнение хотелось бы отметить, что линейный треугольный конечный элемент имеет определенное историческое значение. Он был одним из двух первых конечных элементов, представленных в статье Мартина, Тернера, Клоха и Топпа в 1956 году. Эта публикация общепризнанно считается началом современного метода конечных элементов.

Хотя линейный треугольный конечный элемент в настоящее время реже используется при расчетах конструкции ввиду его низкой точности, тем не менее, он широко используется в тех случаях, когда нет необходимости в высокоточных расчетах, например, концентрации напряжений в конструкции. Другая причина широкого применения треугольного элемента состоит в том, что он очень удобен при использовании в алгоритмах автоматической генерации сетки, например, в широко известном и популярном алгоритме триангулизации по Делоне.

 

9.8.2. Параметрическое представление функций

 

В дальнейшем изложении существенным образом будет использоваться понятие параметрического представления функции. Совместно с алгоритмами численного интегрирования данный подход играет ключевую роль в системной разработке различных типов конечных элементов для решения двумерных и трехмерных задач механики деформируемых тел.

Основная идея параметрического представления функции может быть продемонстрирована на простейшем примере. Рассмотрим каноническое уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат:

                                     (9.69)       

Кроме канонического представления (7.1) уравнение окружности может быть представлено в виде стандартной функциональной зависимости:

,                             (9.70)       

а также в полярной системе координат:

                               (9.71)        

В представлении (9.71)  есть полярный угол, который может быть интерпретирован в виде независимого скалярного параметра, меняющегося в заданных пределах. Очевидно, что подстановка (9.71) в (9.69) дает тождественное равенство.

В общем случае параметрическое представление кривой линии на плоскости или в пространстве имеет вид:

,                                           (9.72а)    

,                                            (9.72б)    

где  - независимый скалярный параметр, меняющейся в заданных пределах.

Вид функций, входящих в (9.72), может быть любым. Главное условие, наложенное на эти функции, состоит в том, чтобы каждому значению параметра  однозначно соответствовала бы точка на плоскости, имеющая координаты , или в пространстве - .

Аналогично определяется параметрическое представление куска плоскости на координатной плоскости или куска поверхности в трехмерном пространстве:

,                                        (9.73а)    

,                                        (9.73б)    

Здесь  - система двух независимых параметров, меняющихся в заданных пределах. Вид функций, входящих в (9.73), может быть также любым. Главное условие, наложенное на эти функции, состоит в том, чтобы имело место взаимооднозначное соответствие системы параметров  и координат  в соотношении (7.5а). В случае соотношения (9.73б) достаточно выполнения одного соответствия точки на плоскости  и точки на поверхности в пространстве .

Параметрическое представление функций существенным образом используется в алгоритмах метода конечных элементов.

 

9.8.3. Система координат треугольного элемента

 

Геометрия трехузлового треугольного конечного элемента задается тремя угловыми точками в плоскости - узлами конечного элемента (Рис. 9.57). Локальные номера узлов на элементе: 1, 2, 3; причем узлы нумеруются таким образом, чтобы обход по контуру элемента был бы против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали к плоскости пластины. Напомним, что внешняя нормаль к плоскости пластины совпадает с положительным направлением глобальной оси z. Положение узлов определяется декартовыми координатами в глобальной системы координат:

                                 (9.74а)   

Линейный треугольный конечный элемент имеет шесть степеней свободы, образуемые компонентами элементного вектора узловых перемещений:

                              (9.74б)   

Рис. 9.57. Линейный треугольный конечный элемент: (а) – геометрия элемента; (б) – положительное направление обхода контура элемента.

 

Обозначим площадь элемента через А. Согласно известной формуле линейной алгебры, площадь плоского треугольника может быть вычислена с помощью определителя, составленного из координат вершин треугольника. Следовательно, площадь линейного треугольного конечного элемента равна:

        (9.75)    

Заметим, что площадь области, определяемой формулой (9.75), имеет знак. Она положительна, если локальная нумерация узлов (1, 2, 3) выполнена против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали к плоскости пластины, как это было отмечено выше и показано на рисунке 9.57. В противном случае, знак А будет отрицательным, что сигнализирует об ошибке. Такое соглашение будет использоваться и в дальнейшем изложении материала.

Кроме глобальной системы координат  введем локальную параметрическую систему координат в плоскости элемента, задаваемую тремя переменными величинами:

                                                   (9.76)    

Эти три локальные параметрические координаты в литературе по МКЭ называются также естественными и треугольными. С помощью введенной системы координат устанавливается взаимооднозначное соответствие между глобальными декартовыми координатами произвольной точки элемента и тремя скалярными параметрами :

,                                   (9.77)   

Сразу обратим внимание на кажущееся противоречие между формулами (9.77) и (9.73а), которое легко устраняется, если допустить наличие связи между параметрами . На самом деле, так оно и есть: три треугольные координаты не являются независимыми, а связаны одним соотношением:

                                      (9.78)   

Очевидно, что из соотношения (9.78) можно выразить, например, координату  через другие две . Тогда соотношение (9.77) примет стандартный вид (9.73а). Однако, использование трех параметров оказывается более удобным с точки зрения вычислений и разработки эффективных численных алгоритмов, о чем всегда необходимо помнить, когда имеешь дело с вычислительной механикой.

На рисунке 9.58 дано геометрическое пояснение математического смысла введенных координат.

Рис. 9.58. Треугольные координаты.

 

Три уравнения, записанные в виде:

                                   (9.79)    

геометрически представляют собой множество прямых линий, параллельных стороне, противоположной i-му узлу.

Например, уравнения сторон треугольного элемента 1-2, 2-3 и 3-1 будут иметь следующий вид:

                                           (9.80а)                     

Три вершины треугольного элемента будут иметь следующие локальные координаты:

                   (9.80б)                       

В качестве примера приведем также координаты средних точек сторон треугольного элемента и геометрического центра элемента:

                 (9.80в)      

Еще раз напомним, что три параметра не являются независимыми и связаны одним дополнительным соотношением:

 

9.8.4. Интерполяционные соотношения линейного треугольного элемента

 

Рассмотрим произвольную непрерывную функцию двух переменных, которая изменяется линейно в пределах некоторой плоской треугольной области. В декартовой системе координат эта функция может быть записана следующим образом:

,                                         (9.81)      

Где  - произвольные постоянные коэффициенты.

Пусть теперь мы хотим ввести аппроксимацию данной функции в пределах треугольного элемента. Обозначим через:

,                                                                           (9.82)     

значения данной функции в соответствующих узлах конечного элемента – так называемые узловые значения функции.

С помощью этих значений могут быть определены неизвестные коэффициенты в представлении (9.81). В самом деле, получим:

,                   (9.83)        

Соотношения (9.83) представляют систему трех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов . Решив систему (9.83), получим однозначное выражение функции (9.81) через ее узловые значения. Однако, это выражение достаточно сложное и неудобное в использовании. Поэтому используют представление функции не в глобальной, а в локальной системе координат на элементе. Очевидно, что если установлено взаимооднозначное соответствие между глобальной и локальной системами координат, то и выражения функции в различных координатах будут соответственными друг другу.

Используя данный подход, представим функцию (9.81) в треугольных координатах через ее узловые значения следующим образом:

           (9.84)    

Соотношение (9.84) называется линейным интерполирующим соотношением произвольной непрерывной функции f в треугольных координатах.

В следующей лекции, пользуясь введенными понятиями, получим расчетные соотношения линейного треугольного конечного элемента.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет