Лекции

 

 

Главная

 

9.16.3. Алгоритм МКЭ для динамической задачи

 

При анализе динамического поведения биологических структур, требуемого в ряде задач биомеханики, как правило, необходимо учитывать вязкость живых тканей. В теории наследственной упругости и в работах, посвященных моделированию мягких тканей, известно большое число определяющих соотношений вязко-упругого материала, задающих связь между скоростями деформаций и напряжений. В настоящем курсе мы рассмотрим наиболее известную модель такого материала, носящую название модель Кельвина-Фойгта и описываемую следующим тензорным соотношением (9.217):

Приведенное выражение позволяет достаточно легко расширить рассмотренный выше алгоритм на решение динамических задач с учетом вязкости материала. В частности, модель Кельвина-Фойгта удобна для анализа отклика биомеханической системы на приложенное гармоническое воздействие. В одной из следующих лекциях будет продемонстрирован пример применения данной модели к решению некоторых актуальных задач биомеханики опорно-двигательного аппарата человека.

Перепишем определяющее соотношение модели Кельвина-Фойгта в матричной форме, введя в рассмотрение наряду с матрицей упругих модулей D еще и матрицу вязкости S:

С учетом нового выражения для вектора напряжений вычислим вариацию потенциальной энергии деформации тела:

где

 - элементная матрица диссипации

 

- глобальная матрица диссипации

Вектор сил инерции может быть выражен через глобальный вектор узловых ускорений путем применения процедуры конечно-элементной дискретизации, описанной выше:

Элементарная работа внешних объемных сил должна быть преобразована с учетом сил инерции, действующих на точки тела. Согласно принципу Даламбера силы инерции могут быть добавлены к активным внешним силам, что в результате приводит к следующему выражению виртуальной работы объемных сил:

где

- элементная матрица масс

 

- глобальная матрица масс

Наконец, применяя основное математическое выражение принципа возможных перемещений:

,

с учетом нового вида виртуальной работы и вариации потенциальной энергии деформации, получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно глобального вектора узловых перемещений в матричном виде:

,                           (9.222)                               

где U(t) - глобальный вектор узловых перемещений, зависящих от времени,

F(t)= Fv(t)+Fs(t) - глобальный вектор узловых сил, зависящих от времени.

Полученное дифференциальное уравнение широко используется в методе конечных элементов для решения динамических задач. В данной главе мы рассмотрим только частный случай общей динамической задачи - вынужденные колебания тела под действием внешней гармонической силы. Несмотря на частный характер, теоретический анализ вынужденных колебаний биомеханических структур актуален при решении важных практических задач, связанных с разработкой вибрационных методов исследования состояния живых тканей и органов, что будет показано в дальнейшем.

 

9.16.4. Расчет вязко-упругих гармонических колебаний

 

Для разработки алгоритма воспользуемся известным подходом, применяемым в теории линейных колебаний. Представим внешнюю гармоническую силу в виде комплексной экспоненты:

,

где F,  - глобальный вектор амплитудных значений узловых сил и круговая частота колебаний силы, i - мнимая единица.

Тогда частное решение, соответствующее установившемся вынужденным колебаниям ищется в том же виде, что и правая часть дифференциального уравнения:

,

где U - глобальный вектор комплексных амплитудных значений узловых перемещений; U1 and U2 - соответственно действительная и мнимая части данного вектора.

Подставляя выражения сил и перемещений в дифференциальное уравнение, получим систему комплексных алгебраических уравнений относительно глобального вектора комплексных амплитуд:

                             (9.223)                       

После решения полученной системы для фиксированных значений частоты внешней силы, действительные амплитудные значения перемещений узлов, их скоростей и ускорений могут быть вычислены следующим образом:


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет