Лекции

 

 

Главная

 

9.18. Теоретические основы метода граничных элементов

 

9.18.1. Введение

 

Численные методы механики деформируемого твердого тела могут быть разделены на три основных вида: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов (более общее название – метод граничных интегральных уравнений).

Первый из этих методов связан с непосредственной реализацией разностного оператора, соответствующего исходному дифференциальному уравнению задачи. Данный подход обладает одним существенным свойством: он позволяет легко распространить методику на решение нелинейных задач и не требует сложных математических преобразований. К сожалению, точность получаемых результатов оказывается невысокой.

Метод конечных элементов базируется на разбиении исследуемого тела на ряд подобластей простого очертания, называемых конечными элементами. В основе численной модели лежат вариационные принципы механики, наиболее часто принцип минимума потенциальной энергии. Механическая ясность и широкие практические возможности метода объясняют его популярность среди исследователей.

Однако существует много классов задач, для которых конечно-элементная реализация неудовлетворительна, что и заставило ученых обратиться к альтернативным методам, основывающимся на интегральных уравнениях.

В данном курсе лекций мы рассмотрим один из таких подходов – прямой метод граничных элементов. Сначала изложим математическую базу метода: исходная система дифференциальных уравнений пространственной задачи теории упругости преобразуется в граничное интегральное уравнение относительно неизвестных поверхностных перемещений и напряжений. Для численного решения этого уравнения вся поверхность тела разбивается на ряд элементов, в пределах которых перемещения и напряжения интерполируются с помощью полимиальных функций через их значения в узловых точках. Далее опишем программы для численного решения плоских задач теории упругости и рассмотрим тестовый пример на применение данной программы.

В лекциях будем использовать декартовое тензорное обозначение, в соответствии с которым для представления осей используются индексы (1, 2, 3). Кроме того, необязательны символы суммирования, если в слагаемом одни и те же нижние индексы встречаются дважды. Например,

,

.

В данной лекции будет показано, как задача теории упругости, сформулированная в идее полной системы уравнений линейной теории упругости с граничными условиями, может быть сведена к интегральному уравнению, допускающую численную реализацию в рамках прямого метода граничных элементов.

 

9.18.2. Постановка пространственной задачи теории упругости

 

Рассмотрим тело  (- граница области ) (Рис. 9.80), которое находится в состоянии равновесия под воздействием заданных нагрузок и перемещений. Это состояние описывается полной системой уравнений линейной теории упругости:

,

,                                          (9.224)                          

,

где

- компоненты тензора напряжений;

- компоненты тензора деформаций;

- компоненты вектора перемещений;

- компоненты вектора объемных сил;

- символ Кронекера, ; ; ;

 - объемная деформация, ;

- коэффициент Пуассона;

- модуль сдвига.

Рис. 9.80. Постановка пространственной задачи теории упругости.

 

Граничные условия имеют вид:

,                       (9.224а)                              

где

- компоненты вектора напряжений на границе;

- компоненты вектора нормали к поверхности;

- часть границы, на которой заданы кинематические условия;

- часть границы, на которой заданы силовые условия.

 

9.18.3. Вывод интегрального уравнения задачи

 

Вывод интегрального уравнения основан на преобразовании дифференциальных уравнений теории упругости в интегральные уравнения. Это может быть осуществлено с помощью теоремы Бетти о взаимности работ. Рассматриваются два состояния упругой среды:

1:

2: .

Оба состояния должны удовлетворять уравнению равновесия в  под действием заданных объемных сил, поверхностных нагрузок и перемещений.

Пусть 1-е состояние определяется исходной постановкой задачи. В качестве второго возьмем следующее состояние упругой среды: область с границей , которая включает в себя рассматриваемое тело  (рис. 9.81). Считается, что и эта область находится в состоянии равновесия, обозначенном символом «*». Пусть теперь в качестве вектора объемных сил b*k выступают единичные сосредоточенные усилия, приложенные в точке  в каждом из трех ортогональных направлений ek, т.е.

или

,

,

,

где - дельта-функция Дирака.

Возникающие поля перемещений и напряжений можно вычислить как решение полной системы уравнений теории упругости или эквивалентного ей уравнения Навье в области :

,                (9.225)                       

где - i-я компонента вектора перемещений в точке q, от действия в точке p единичной сосредоточенной силы в направлении ek.

Рис. 9.81. Область  с границей , которая включает в себя рассматриваемое тело .

 

Решения этого уравнения называются фундаментальными сингулярными решениями. Они образуют тензоры фундаментальных решений U и T с компонентами: , - i-я компонента вектора перемещений (напряжений) в точке q, вызванная действием единичной сосредоточенной силы в точке p в направлении ek.

.

Тогда перемещения и напряжения в любой точке q тела при действии сосредоточенной единичной силы в точке p в направлении l определяется так:

.

Теперь отсекаем область , и действие отброшенной части заменяем распределенными поверхностными нагрузками и перемещениями на границе :

.

Оставшаяся часть области  находится в равновесии и описывается следующими параметрами:

.

Теперь для области  можно записать теорему Бетти:

.

Подставляя , ,  в уравнение взаимности работ, получаем:

.

Используя фильтрующее свойство  ункции

,

получим интегральное уравнение задачи:

.                   (9.226)                        

Это выражение называется также тождеством Сомильяны для перемещений. Перейдем от тензорной формы записи к матричной:

,                           (9.226а)                         

где u, t, b – векторы столбцы; U, T – матрицы. Их размерность: dim u = dim t = dim b =3x1, dim U = dim T = 3x3.

 

9.18.4. Граничное интегральное уравнение

 

Согласно концепции метода граничных элементов рассматривается предельная форма интегрального уравнения (9.226а) при перемещении точки p к границе. Тогда (9.226а) приобретает вид:

,               (9.227)                       

где c(p) – матрица, зависящая от гладкости границы Г в окрестности точки p.

Уравнение (9.227) справедливо как для трех-, так и для двухмерных задач, и представляет собой соотношение, которое должно выполняться между перемещениями и напряжениями на поверхности тела, а также объемными силами. Поскольку объемные силы известны, видно, что это граничное интегральное уравнение (ГИУ) относительно неизвестных граничных значений перемещений и усилий.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет