Главная
9.19.
Численная реализация метода граничных элементов
9.19.1.
Гранично-элементная дискретизация
Решить ГИУ аналитически для произвольной области не представляется возможным. Поэтому применяется гранично-элементная дискретизация, аналогичная процедура МКЭ. Граница Г представляется серией граничных элементов (ГЭ) Ге, на каждом из которых перемещения и поверхностные усилия получаются интерполированием по узловым точкам элемента. Интегральный член с объемными силами опустим, т.к. для сути МГЭ он не имеет принципиального значения.
Дискретизованная модель границы области (Рис. 9.82) характеризуется глобальными векторами координат узлов X:
,
где 
- вектор координат узла 
. Вектор координат узлов ГЭ Ге
получается из глобального вектора координат при помощи матрицы кинематической
связи:
.
Координаты любой внутренней точки ГЭ Ге определяются с помощью матрицы интерполирующих функций
, (9.228)
где 
- локальная система
координат ГЭ: 
.
Рис. 9.82. Дискретизованная модель границы области (поверхности тела).
Аналогично в случае изопараметрического элемента определяются перемещения и поверхностные усилия через векторы узловых перемещений и усилий на ГЭ Ге:
, (9.229)
где V, P – глобальные векторы перемещений и усилий.
После разбиения границы на элементы ГИУ (9.227) принимает вид:
. (9.230)
В это выражение входят поверхностные интегралы по ГЭ Ге.
Элемент поверхности может быть записан так:
,
,
где 
- якобиан преобразования от глобальной к локальной
системе координат.
Подставляя в дискретизованное
ГИУ выражение для 
и интерполяционные
соотношения для перемещений и усилий, получим:
. (9.231)
9.19.2.
Формирование системы линейных алгебраических уравнений
В уравнении (9.231) точка p расположена
на границе произвольно. Согласно методу коллокаций выберем
ее совпадающей последовательно с каждым из узлов границы. В результате получаем
систему матричных уравнений (
- глобальное число узлов границы):
, (9.232)
где 
- глобальный номер
узла. 
.
Последнее уравнение можно переписать в матричном виде:
,
(9.233)
где
,
где 
- матричный блок
размерностью 3x3, который представляет собой сумму интегральных вкладов с
ядрами 
от всех ГЭ, содержащих
узел с номером 
, а точка коллокации совпадает с
узлом , т.е. этот матричный блок характеризует влияние узла на узел с номером.
В уравнение (9.233) входят как известные из граничных условий перемещения и усилия, так и неизвестные, поэтому удобно разделить векторы V и P на известную часть и неизвестную:
.
То есть в 
узлах заданы
перемещения, а в 
- усилия.
Соответствующим образом разделяются и компоненты матриц G и С+Н. Перенеся вектор известных величин в правую часть, получим окончательный вид системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов:
,
(9.234)
где 
- вектор неизвестных поверхностных
усилий и перемещений, 
- полностью заполненная матрица размерности 
.
Как только все узловые граничные значения перемещений и усилий становятся известными в результате решения СЛАУ, то могут быть вычислены перемещения и напряжения внутри тела с помощью соответствующих дискретизованных уравнений. Напряжения в граничных узлах определяются по значениям перемещений и усилий на границе с использованием дифференцирования в пределах ГЭ.
9.19.3.
Особенности математической формулировки МГЭ для решения плоских задач теории
упругости
Граничное интегральное уравнение (9.227),
выведенное в лекции 9.18 для пространственного случая, полностью сохраняет свой
вид и для плоской задачи. Однако при гранично-элементной дискретизации следует
учитывать, что область 
- есть двумерное плоское упругое тело, а граница Г -
есть контур этого тела (рис. 9.83). В многих
разрабатываемых программах для моделирования кривой линии и распределения
перемещения и усилий вдоль нее используются так называемые линейные элементы,
функции формы которых имеют вид (рис. 9.84):
, (9.235)
а вектор координат узлов ГЭ Ге (рис. 9.83)
.
Рис. 9.83. Гранично-элементная дискретизация границы плоской области.
Рис. 9.84. Функции формы одномерного линейного изопараметрического элемента.
В силу этого интегрирование по граничному
элементу будет означать интегрирование по отрезку 
, а окончательная СЛАУ приобретает размерность 
.
Здесь же приведем вид фундаментальных решений для плоской бесконечной области:
, (9.236)
где 
– расстояние между
точкой коллокации
и произвольной точкой на ГЭ, 
- символы Кронекера.
Как видно из рисунка 20.2, расстояние есть модуль вектора,
соединяющего точки и 
:
,
тогда можно вычислить производные расстояния
по координате 
следующим образом:
.
В выражении 
фигурирует производная
расстояния по нормали к границе 
. Она вычисляется согласно правилу определения
производной скалярной функции по направлению:
.
Приведенное фундаментальное решение (9.236)
носит название решение Кельвина - Сомильяны. Оно получается как решение уравнения Навье (9.225) в случае, когда 
представляет собой
бесконечную область, в произвольной точке 
которой действует единичная сосредоточенная сила в
направлении координатной оси 
или 
. Важнейшая особенность такого решения заключается в том, что
перемещения и усилия, определяемые формулами (9.236), неограниченно возрастают при
приближении точки 
, в которой они вычисляются, к точке , в которой приложена сосредоточенная сила, т.е.
при
.
Поэтому решения такого вида называются сингулярными
решениями, а точка - сингулярной точкой.
email: KarimovI@rambler.ru Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
