Лекции

 

 

Главная

 

9.19. Численная реализация метода граничных элементов

 

9.19.1. Гранично-элементная дискретизация

 

Решить ГИУ аналитически для произвольной области не представляется возможным. Поэтому применяется гранично-элементная дискретизация, аналогичная процедура МКЭ. Граница Г представляется серией граничных элементов (ГЭ) Ге, на каждом из которых перемещения и поверхностные усилия получаются интерполированием по узловым точкам элемента. Интегральный член с объемными силами опустим, т.к. для сути МГЭ он не имеет принципиального значения.

Дискретизованная модель границы области (Рис. 9.82) характеризуется глобальными векторами координат узлов X:

,

где - вектор координат узла . Вектор координат узлов ГЭ Ге получается из глобального вектора координат при помощи матрицы кинематической связи:

.

Координаты любой внутренней точки ГЭ Ге определяются с помощью матрицы интерполирующих функций

,                  (9.228)                            

где  - локальная система координат ГЭ: .

Рис. 9.82. Дискретизованная модель границы области (поверхности тела).

 

Аналогично в случае изопараметрического элемента определяются перемещения и поверхностные усилия через векторы узловых перемещений и усилий на ГЭ Ге:

,                          (9.229)                             

где V, P – глобальные векторы перемещений и усилий.

После разбиения границы на элементы ГИУ (9.227) принимает вид:

.                    (9.230)                           

В это выражение входят поверхностные интегралы по ГЭ Ге.

Элемент поверхности может быть записан так:

,

,

где - якобиан преобразования от глобальной к локальной системе координат.

Подставляя в дискретизованное ГИУ выражение для  и интерполяционные соотношения для перемещений и усилий, получим:

.       (9.231)                          

 

9.19.2. Формирование системы линейных алгебраических уравнений

 

В уравнении (9.231) точка p расположена на границе произвольно. Согласно методу коллокаций выберем ее совпадающей последовательно с каждым из узлов границы. В результате получаем систему матричных уравнений (- глобальное число узлов границы):

,       (9.232)                         

где  - глобальный номер узла. .

Последнее уравнение можно переписать в матричном виде:

,                                                                                                   (9.233)                        

где

,

где  - матричный блок размерностью 3x3, который представляет собой сумму интегральных вкладов с ядрами  от всех ГЭ, содержащих узел с номером , а точка коллокации совпадает с узлом , т.е. этот матричный блок характеризует влияние узла на узел с номером.

В уравнение (9.233) входят как известные из граничных условий перемещения и усилия, так и неизвестные, поэтому удобно разделить векторы V и P на известную часть и неизвестную:

.

То есть в  узлах заданы перемещения, а в - усилия.

Соответствующим образом разделяются и компоненты матриц G и С. Перенеся вектор известных величин в правую часть, получим окончательный вид системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов:

,                              (9.234)                         

где  - вектор неизвестных поверхностных усилий и перемещений, - полностью заполненная матрица размерности .

Как только все узловые граничные значения перемещений и усилий становятся известными в результате решения СЛАУ, то могут быть вычислены перемещения и напряжения внутри тела с помощью соответствующих дискретизованных уравнений. Напряжения в граничных узлах определяются по значениям перемещений и усилий на границе с использованием дифференцирования в пределах ГЭ.

 

9.19.3. Особенности математической формулировки МГЭ для решения плоских задач теории упругости

 

Граничное интегральное уравнение (9.227), выведенное в лекции 9.18 для пространственного случая, полностью сохраняет свой вид и для плоской задачи. Однако при гранично-элементной дискретизации следует учитывать, что область  - есть двумерное плоское упругое тело, а граница Г - есть контур этого тела (рис. 9.83). В многих разрабатываемых программах для моделирования кривой линии и распределения перемещения и усилий вдоль нее используются так называемые линейные элементы, функции формы которых имеют вид (рис. 9.84):

,                        (9.235)                           

а вектор координат узлов ГЭ Ге  (рис. 9.83)

.

Рис. 9.83. Гранично-элементная дискретизация границы плоской области.

 

Рис. 9.84. Функции формы одномерного линейного изопараметрического элемента.

 

В силу этого интегрирование по граничному элементу будет означать интегрирование по отрезку , а окончательная СЛАУ приобретает размерность .

Здесь же приведем вид фундаментальных решений для плоской бесконечной области:

,            (9.236)                   

где  – расстояние между точкой коллокации  и произвольной точкой на ГЭ, - символы Кронекера.

Как видно из рисунка 20.2, расстояние  есть модуль вектора, соединяющего точки  и :

,

тогда можно вычислить производные расстояния  по координате  следующим образом:

.

В выражении  фигурирует производная расстояния  по нормали к границе . Она вычисляется согласно правилу определения производной скалярной функции по направлению:

.

Приведенное фундаментальное решение (9.236) носит название решение Кельвина - Сомильяны. Оно получается как решение уравнения Навье (9.225) в случае, когда  представляет собой бесконечную область, в произвольной точке которой действует единичная сосредоточенная сила в направлении координатной оси  или . Важнейшая особенность такого решения заключается в том, что перемещения и усилия, определяемые формулами (9.236), неограниченно возрастают при приближении точки , в которой они вычисляются, к точке , в которой приложена сосредоточенная сила, т.е.

при

.

Поэтому решения такого вида называются сингулярными решениями, а точка - сингулярной точкой.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет