Лекции

 

 

Главная

 

9.21. Метод конечных разностей (МКР)

 

Этот метод численного решения  краевых задач для дифференциальных уравнений  называют также  методом сеток.  Суть метода состоит в следующем.  На рассчитываемую область наносится сетка с узлами.  Все производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями (по формулам численного дифференцирования) и, таким образом, выражаются через неизвестные узловые значения искомой функции. В результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функций в узлах сетки.  Решение этой системы с последующей интерполяцией в промежутках между узлами позволяет в конечном счете получить приближенное решение рассматриваемой задачи.

Большим преимуществом этого метода является слабая зависимость от  граничных условий задачи, геометрии конструкций и характера исходного напряженного состояния.  Недостатком является высокий порядок систем алгебраических уравнений.  Для МКР также характерны затруднения при учете смешанных граничных условий, рассмотрении многосвязных областей и стыковок областей, описываемых различными дифференциальными уравнениями. 

Первые работы по применению МКР к задачам линейной теории упругости были выполнены  Г. Маркусом в начале XX столетия.  Широкий круг задач был решен  Н. П. Абовским,  П.М. Варваком,  М.А. Колтуновым, М.С. Корнишиным и др. В дальнейшем этот метод применялся для решения плоских задач теории упругости, изгиба пластин, оболочек и т. д.

Изложим основные положения МКР на примере одномерной задачи. Пусть, например, υ(x) есть уравнение изогнутой оси балки (рис. 9.86).  Точное значение производной в точке  С  будет равно

Обозначим через   конечное приращение аргумента – шаг сетки  (разностные отношения будут намного проще, если   для всей рассчитываемой области).  Как видно из рис. 9.86, чем меньше шаг , тем хорда  AB  будет ближе к касательной, а угол наклона AB будет приближаться к углу наклона касательной.  Пусть  i, k, l, s, t  – узлы сетки,  а  υi, υk, υl, υs, υt    узловые значения функции υ(x).  Тогда приближенное выражение для производной в точке  i,  лежащей посредине интервала  [k, l], запишется следующим образом:

.                                        (9.243)

Приближенное выражение для производной посредине интервала  [i, l]   можно записать так:     

,                                  (9.244) 

а посредине интервала  [k, i]: 

                             (9.245) 

Выражение (9.243) называется  центральной  разностью  в точке  i,  а (9.244) и (9.245) – соответственно  правой  и  левой разностями  в точке  i  в  нецентрированной форме.  Все вышеприведенные выражения для первой производной,   помимо того, называются  первыми разностями.

Вторая производная (вторая разность) в точке  i  – это первая разность от первых разностей в точках   и : 

.    (9.246) 

Аналогично вторые разности в точках  l  и  k: 

,     

Третья производная (третья разность) в точке  i  берется как первая разность от вторых разностей в точках  l  и  k: 

.

Четвертая производная (четвертая разность) в точке  i  – это вторая разность от вторых разностей в точках  l,  i  и  k: 

.    (9.247)  

Рассмотрим, как выполняется учет заданных условий по МКР. 

Если  υi = 0  в точке i, то данное неизвестное просто исключается из системы алгебраических уравнений (соответственно число уравнений в системе уменьшается на одно). 

Если  υ (xi) = 0, то, подставляя данное условие в (9.243), имеем  ,  откуда  υl = υk,  и одно из этих неизвестных, например υl, также исключается   из системы уравнений. 

Если  , то из выражения второй разности (9.246) можно, например, выразить  υl = 2υiυk.  Данная зависимость также позволяет исключить одно неизвестное, в данном случае  υl. 

 

Пример. 

Балка на двух опорах постоянного сечения нагружена распределенной нагрузкой  p  и  сосредоточенной силой  F = 0,2pl  (рис. 9.87).  Необходимо определить прогибы балки.

Решение.

Разделим балку на четыре равные части:  .  Поскольку на опорах  υ0 = υ4 = 0,  неизвестными будут узловые значения прогибов в точках 1, 2, 3.

Примем в качестве математической модели этой задачи приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

.                                              (9.248)     

Значения изгибающих моментов, необходимые в этом случае, приведены на рис. 9.87. Воспользовавшись формулой вторых разностей (9.246), запишем уравнение (9.248)  последовательно для точек  1, 2 и 3:

       

Подставив    и исключив  υ0  и  υ4 ,  получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Решив данную систему, имеем:

      .  

Точные значения прогибов в соответствующих узлах балки:

.  

Решим ту же задачу, исходя из дифференциального уравнения изгиба балки четвертого порядка:   

.                                              (9.249)    

В этом случае нет необходимости предварительно определять значения внутренних изгибающих моментов в узлах балки.  В свою очередь, сосредоточенная сила F в узле 3 должна быть представлена в виде распределенной (на интервале) нагрузки: ,  нагрузка же в узлах 1 и 2 соответственно равна: – p, –p/2.  Применив формулу четвертых разностей (9.247), запишем уравнение (9.249) для тех же точек  1, 2 и 3:

;

;                           (9.250)  

  .

Здесь для записи четвертых разностей введены так называемые  законтурные узлы  -1 и 5, находящиеся вне расчетной области балки.  Их можно исключить с помощью граничных условий (на опорах).  Так, на левой опоре (узел 0):

Отсюда  υ-1 = – υ1.  Такие же условия на правой опоре (узел 4), поэтому υ5 = –υ3. 

Подставив в (9.250)    и исключив неизвестные:  υ0 = υ4 = 0,     υ-1 = –υ1   и  υ5 = –υ3,  получим систему алгебраических уравнений:

;

Решением данной системы будут следующие значения прогибов в узлах балки: 

       

что совпадает с результатами предыдущего расчета (использующего в качестве математической модели уравнение (9.248)). 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics Каталог@MAIL.RU - каталог ресурсов интернет